Równiania i nierówności trygonometryczne

[jamajka18]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych równań. Jutro mam sprawdzian i nie potrafię tego rozkminić. Jest to dla mnie bardzo ważne! Będę wdzięczna za chociaż jeden rozwiązany przykład

1. \(\displaystyle{ \frac{1+2\cos x}{\sin x} <0, x \in \left( 0, \pi \right)}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{2}{3} \pi \right)}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{3-4\sin ^{2} x}{1-\cos 2x} >0, x \in \left( 0, \pi \right)}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{ \pi }{3} \right) \cup \left( \frac{2}{3} \pi , \pi \right)}\)

3. \(\displaystyle{ \frac{3\cos x-2}{4\cos ^2x-1} <1, x \in \left( 0,2 \pi \right)}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{ \pi }{3} \right) \cup \left( \frac{2}{3} \pi , \frac{4}{3} \pi \right) \cup \left( \frac{5}{3} \pi ,2 \pi \right)}\)

4. \(\displaystyle{ \frac{\cos 2x+\cos x-1}{\cos 2x} >2 , x \in \left( 0, \pi \right)}\)ma wyjść \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{ \pi }{4} , \frac{ \pi }{3} \right) \cup \left( \frac{ \pi }{2} , \frac{3}{4} \pi \right)}\)

5. \(\displaystyle{ \cos x+\tg x<1+\sin x, x \in \left( 0,2 \pi \right)}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right) \cup \left( \frac{ \pi }{2} , \frac{5}{4} \pi \right) \cup \left( \frac{3}{2} \pi ,2 \pi \right)}\)

6. \(\displaystyle{ \sin 2x< -\frac{1}{2} ,x \in \langle 0,2 \pi \rangle}\)

7. \(\displaystyle{ 3\sin ^2x-\sin x+\cos ^2x=1, x \in \langle 0,2 \pi \rangle}\)

Wyznacz dziedzinę funkcji.
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{ \sqrt{-x^2+ \pi ^2} }{2\sin 2x-1}}\)

[loitzl9006]

Weźmy pierwszy przykład. Wyznaczasz najpierw dziedzinę: \(\displaystyle{ \sin x \neq 0}\). Z tego, że \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \pi \right)}\) wnioskujemy, że wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sin x}\) (jakie mamy w mianowniku) będzie dodatnia dla każdego iksa z rozważanego przedziału. Jeżeli pomnożymy obustronnie nierówność przez dodatnią liczbę, jaką jest \(\displaystyle{ \sin x}\), otrzymamy

\(\displaystyle{ 1+ 2\cos x <0}\)

Ponieważ mnożymy obustronnie przez liczbę dodatnią, to znak nierówności pozostaje bez zmian. Teraz zajmujesz się powyższą nierównością. Przekształcasz ją tak, żeby po jednej stronie był \(\displaystyle{ \cos x}\) a po drugiej liczba; potem odczytujesz rozwiązanie (np. z tablic).

[piasek101]

5) Dziedzina; pomnożyć stronami przez cosinusa; wszystko na lewą; pogrupować; postać iloczynowa ...

[jamajka18]

Weźmy pierwszy przykład. Wyznaczasz najpierw dziedzinę: \(\displaystyle{ \sin x \neq 0}\). Z tego, że \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \pi \right)}\) wnioskujemy, że wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sin x}\) (jakie mamy w mianowniku) będzie dodatnia dla każdego iksa z rozważanego przedziału. Jeżeli pomnożymy obustronnie nierówność przez dodatnią liczbę, jaką jest \(\displaystyle{ \sin x}\), otrzymamy

\(\displaystyle{ 1+ 2\cos x <0}\)

Ponieważ mnożymy obustronnie przez liczbę dodatnią, to znak nierówności pozostaje bez zmian. Teraz zajmujesz się powyższą nierównością. Przekształcasz ją tak, żeby po jednej stronie był \(\displaystyle{ \cos x}\) a po drugiej liczba; potem odczytujesz rozwiązanie (np. z tablic).

hm, ja zrobiłam to tak iż \(\displaystyle{ 2 \cos x}\) zmieniłam na \(\displaystyle{ 1-2\sin^2x}\), zatem wyszło mi \(\displaystyle{ 2-2\sin^2x<0}\)
Nie wiem teraz co dalej z tym zrobić?

[loitzl9006]

Ale przecież \(\displaystyle{ 2 \cos x \neq 1-2 \sin ^{2} x}\), także nie można sobie tak zamieniać.

[jamajka18]

Nauczyciel każe nam korzystać z wzorów na potrojony i podwojony argument funkcji trygonometrycznej..
np.
\(\displaystyle{ \ \sin 2x=2 \ \sin x \cdot \ \cos x \\
\cos 2x= \ \cos ^2x-\ \sin ^2x=2 \ \cos ^2x-1 =1-2\ \sin ^2x}\)

są jeszcze dwa podobne dla \(\displaystyle{ \sin 3x}\) i \(\displaystyle{ \cos 3x.}\)

[piasek101]

Tylko zobacz gdzie była dwójka w tym co zrobiłaś.

[jamajka18]

Jeeny myślałam, że \(\displaystyle{ \ 2\cos x}\), a \(\displaystyle{ \cos 2x}\), to to samo. :/
Haha, przepraszam. Teraz rozumiem ten przykład.

[loitzl9006]

To teraz drugi. Zaczynasz oczywiśnie od dziedziny, a potem próbujesz pozbyć się mianownika. Zadajesz sobie pytanie: czy wyrażenie \(\displaystyle{ 1- \cos 2x}\) jest dodatnie, czy ujemne dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \pi \right)}\) ?

[major37]

To ja zacznę od końca Więc ta dziedzina to \(\displaystyle{ 2 \sin 2x -1 \neq 0}\) więc \(\displaystyle{ 2 \sin 2x \neq 1}\) co na daje \(\displaystyle{ \sin 2x \neq \frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2x \neq \frac{ \pi}{6}+2k \pi \vee 2x \neq \frac{5 \pi}{6}+2k \pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\) oczywiście jeszcze podziel przez dwa aby otrzymać samego iksa.
Ad. 7 weź zamień kosinusa z wzoru jedynkowego na sinusa, przenieść jedynkę na lewą stronę i uprość wyrażenie. Na koniec wprowadź zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ \sin x=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in \langle -1;1 \rangle}\) Odnośnie nierówności zaraz zrobię zdjęcie z mojej książki i CI wyśle (będzie szybciej niż tłumaczenie) i będziesz wiedziała jak rozwiązywać. Zapomniał bym o tej dziedzinie jeszcze \(\displaystyle{ -x ^{2}+ \pi ^{2} \ge 0}\)

[jamajka18]

To teraz drugi. Zaczynasz oczywiśnie od dziedziny, a potem próbujesz pozbyć się mianownika. Zadajesz sobie pytanie: czy wyrażenie \(\displaystyle{ 1- \cos 2x}\) jest dodatnie, czy ujemne dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \pi \right)}\) ?

przepraszam, źle napisałam licznik. powinno w nim być \(\displaystyle{ \frac{3-4\sin^2 x}{1-\cos 2x} >0.}\)
Zatem dziedzina to chyba \(\displaystyle{ x \in R?}\)
I chyba to wyrażenie jest ujemne..

-- 17 maja 2012, o 18:00 --

To ja zacznę od końca Więc ta dziedzina to \(\displaystyle{ 2 \sin 2x -1 \neq 0}\) więc \(\displaystyle{ 2 \sin 2x \neq 1}\) co na daje \(\displaystyle{ \sin 2x \neq \frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ 2x \neq \frac{ \pi}{6}+2k \pi \vee 2x \neq \frac{5 \pi}{6}+2k \pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\) oczywiście jeszcze podziel przez dwa aby otrzymać samego iksa.
Ad. 7 weź zamień kosinusa z wzoru jedynkowego na sinusa, przenieść jedynkę na lewą stronę i uprość wyrażenie. Na koniec wprowadź zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ \sin x=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in \langle -1;1 \rangle}\) Odnośnie nierówności zaraz zrobię zdjęcie z mojej książki i CI wyśle (będzie szybciej niż tłumaczenie) i będziesz wiedziała jak rozwiązywać. Zapomniał bym o tej dziedzinie jeszcze \(\displaystyle{ -x ^{2}+ \pi ^{2} \ge 0}\)

Jej, dzięki wielkie

[loitzl9006]

Zatem dziedzina to chyba \(\displaystyle{ x \in R?}\)
I chyba to wyrażenie jest ujemne..

Dziedzina zgadza się, ale to wyrażenie będzie dodatnie. W ogólności wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos 2x}\) może się zawierać między \(\displaystyle{ -1}\) a \(\displaystyle{ 1}\). Zatem \(\displaystyle{ 1-\cos 2x}\) będzie przyjmować w ogólności wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\) (w naszym zadaniu będzie to wyrażenie stale dodatnie).

Można zatem (analogicznie jak w pierwszym przykładzie) pomnożyć obustronnie nierówność przez mianownik. Potem wykorzystamy wspomniane przez Ciebie wzory.

[jamajka18]

Zatem dziedzina to chyba \(\displaystyle{ x \in R?}\)
I chyba to wyrażenie jest ujemne..

Dziedzina zgadza się, ale to wyrażenie będzie dodatnie. W ogólności wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos 2x}\) może się zawierać między \(\displaystyle{ -1}\) a \(\displaystyle{ 1}\). Zatem \(\displaystyle{ 1-\cos 2x}\) będzie przyjmować w ogólności wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\) (w naszym zadaniu będzie to wyrażenie stale dodatnie).

Można zatem (analogicznie jak w pierwszym przykładzie) pomnożyć obustronnie nierówność przez mianownik. Potem wykorzystamy wspomniane przez Ciebie wzory.

Aha, chyba rozumiem. Wyjdzie \(\displaystyle{ \ \sin x< \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ \ \sin x> \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) ? Dalej już łatwo zrobić.

-- 17 maja 2012, o 18:33 --

Zatem dziedzina to chyba \(\displaystyle{ x \in R?}\)
I chyba to wyrażenie jest ujemne..

Dziedzina zgadza się, ale to wyrażenie będzie dodatnie. W ogólności wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos 2x}\) może się zawierać między \(\displaystyle{ -1}\) a \(\displaystyle{ 1}\). Zatem \(\displaystyle{ 1-\cos 2x}\) będzie przyjmować w ogólności wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\) (w naszym zadaniu będzie to wyrażenie stale dodatnie).

Można zatem (analogicznie jak w pierwszym przykładzie) pomnożyć obustronnie nierówność przez mianownik. Potem wykorzystamy wspomniane przez Ciebie wzory.

Aha, chyba rozumiem. Wyjdzie \(\displaystyle{ \ \sin x< \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ \ \sin x> \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) ? Dalej już łatwo zrobić.

Znaczy \(\displaystyle{ \ \sin x> \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i \(\displaystyle{ \ \sin x < - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

[loitzl9006]

O właśnie. Teraz jest ok