Równanie z cosinusem

[marcinek16marcin]

Jak rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \cos (x)-\cos (y)=0}\)

[major37]

masz dwie zmienne i chcesz jedną uzależnić od drugiej ? Spróbuj rozpisać z wzoru na różnicę funkcji trygonometrycznych. Ja na to pomysłu nie mam

[marcinek16marcin]

To napisze tak: rozwiąż układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} \cos (x)+\cos (x+y)=0\\ \cos (y)+\cos (x+y)=0 \end{cases}}\)

[major37]

Wychodzi tak jak masz w pierwszym poście spróbujemy to rozpisać \(\displaystyle{ \cos x - \cos y=2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}}\) masz iloczyn więc jeden z czynników musi być zero więc przyrównaj to. Dodatkowo \(\displaystyle{ \sin q= 0}\) to \(\displaystyle{ q=k \pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\). Nie wiem czy to dobry pomysł. Poczekaj na mądrzejszego.

[TPB]

Korzystając z tego, co napisał major37 wiemy, że
\(\displaystyle{ \cos x - \cos y=0 \Leftrightarrow 2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x+y}{2} =k \pi \vee \frac{x-y}{2} = k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).
Czyli
\(\displaystyle{ y = 2k \pi -x \vee y=x - 2k \pi}\).
Teraz rozwiązujemy już układ równań. Podstawiając wyliczone y do pierwszego równania mamy, że:
\(\displaystyle{ \cos(x)+\cos(x+2k\pi-x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x)+\cos(2k \pi ) = 0 \Leftrightarrow cos(x)+1 = 0 \Leftrightarrow ...}\)
Dokończysz już sobie rachunki. Podobnie postępujemy w drugim przypadku.

[marcinek16marcin]

Dzięki Panowie;)