Rozwiązanie zadań z trygonometrii

[boskii]

Prosiłbym kogoś w ten sobotni dzień o rozwiązanie kilku zadań z trygonometrii oraz opisanie/wytłumaczenie zadania z osobna jakim sposobem się to zrobiło, prosiłbym nie tylko o same wyniki ale o obliczenia również. (może być to zrobione na kartce i zeskanowane). Mogę się w jakiś sposób odwdzięczyć!

1. Dany jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) taki, że \(\displaystyle{ \sin \alpha = \sqrt{6} - \sqrt{2}}\). Oblicz \(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha}\)

2. Wiadomo, że \(\displaystyle{ \tg \alpha = 6}\) i \(\displaystyle{ 0^\circ < \alpha < 90^\circ}\). Wyznacz \(\displaystyle{ \cos \alpha}\)

3. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 5}\). Wyznacz sinus większego kąta ostrego.

4. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest 2 razy dłuższa od drugiej. Oblicz cosinus mniejszego kąta ostrego.

5. Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ X}\):

\(\displaystyle{ X = \sin ^{4}x - \cos ^{4}x}\) dla \(\displaystyle{ x=30^\circ}\).

6. Wykaż, że jeśli dla pewnego kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) spełnione są warunki \(\displaystyle{ a=2 \cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ b=3 \sin \alpha}\) to \(\displaystyle{ 9a^{2} + 4b ^{2} = 36.}\)

7. Wiadomo, że \(\displaystyle{ a=5}\) jest krótszą przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, zaś jeden z kątów ostrych ma miarę \(\displaystyle{ 30}\) stopni. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

8. Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry i \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{2}{7}.}\) Oblicz \(\displaystyle{ \sin \alpha}\).

9. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest o 3 dłuższa od drugiej. Tanges większego kąta ostrego jest równy \(\displaystyle{ 1,6}\). Wyznacz długość przyprostokątnych tego trójkąta.

10. Dany jest trójkąt równoramienny o wysokości długości \(\displaystyle{ 10}\) i podstawie \(\displaystyle{ 6}\). Oblicz miarę kąta przy podstawie trójkąta.

11. Wiadomo, że \(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha = \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ 0^\circ < \alpha < 90^\circ}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

Z góry dziękuje!

[leapi]

1.\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha =1-\sin ^2 \alpha}\)

[piasek101]

8) Narysuj trójkąt prostokątny o odpowiednich bokach \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 7}\) (albo 2x i 7x).
Może zobaczysz co dalej.

[leapi]

ew. w 8.\(\displaystyle{ \sin \alpha =\sqrt{1-\cos^2 \alpha }}\)

-- 12 maja 2012, o 13:58 --

11. \(\displaystyle{ \tg^2 \alpha =\frac{1}{3}}\) to \(\displaystyle{ \tg \alpha =\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

patrzymy na wartości ze znanej wszystkim tabelki i oczytamy, że \(\displaystyle{ \alpha}\) ma miarę \(\displaystyle{ ...}\) stopni

-- 12 maja 2012, o 14:01 --

6.
\(\displaystyle{ a=2\cos \alpha \\
a^2=4\cos^2 \alpha\\
b=3\sin^2 \alpha \\
b^2=9\sin^2 \alpha}\)

dlatego
\(\displaystyle{ 9a^2+4b^2=9\cdot4\cos^2 \alpha+4\cdot9\sin^2 \alpha =...}\)

[mortan517]

Pełne odpowiedzi ukryte
1.

Ukryta treść:    

Jedynka trygonometryczna
\(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha = 1 - \sin ^2 \alpha = 1 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 1 - (6 -2\sqrt{12} +2) = 1 - (8-2\sqrt{12}) = 1 - 8 +2\sqrt{12} = 2\sqrt{12} -7 = 4\sqrt{3} - 7}\)

2.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \tan \alpha=6}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha = ?}\)

\(\displaystyle{ \tan \alpha= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =6}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = 6\cdot\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ (6\cdot\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ 24\cdot\cos^2\alpha+ \cos^2\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ 25\cdot\cos^2\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\frac{1}{25}}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{5}}\)

ponieważ \(\displaystyle{ 0^\circ < \alpha < 90^\circ}\)

3.

Ukryta treść:    

Z pitagorasa liczymy przeciwprostokątną
\(\displaystyle{ \sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}}\)
Z definicji sinus kąta ostrego alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. W tym przypadku będzie to:
\(\displaystyle{ \frac{5}{\sqrt{34}}= \frac{5\cdot\sqrt{34}}{34}}\)

4.

Ukryta treść:    

Oznaczmy boki odpowiednio \(\displaystyle{ x, 2x}\) oraz trzeci bok z pitagorasa \(\displaystyle{ \sqrt{5}x}\)
Z definicji cosinus kąta ostrego alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa do długości przeciwprostokątnej. W tym przypadku będzie to:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{\sqrt{5}x}= \frac{2\cdot\sqrt{5}}{5}}\)

5.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x=30^\circ}\)

\(\displaystyle{ X = \sin ^{4}x - \cos ^{4}x=(sin30^\circ)^4-(cos30^\circ)^4=(\frac{1}{2})^4-( \frac{\sqrt{3}}{2})^4= \frac{1}{16}- \frac{9}{16}= \frac{-8}{16}=- \frac{1}{2}}\)

6.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a=2 \cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ b=3 \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ 9a^{2} + 4b ^{2} = 36}\)

\(\displaystyle{ 9\cdot(2 \cos \alpha)^{2} + 4\cdot(3 \sin \alpha) ^{2} = 36}\)

\(\displaystyle{ 9\cdot4 \cos^2 \alpha + 4\cdot 9 \sin^2 \alpha = 36}\)

\(\displaystyle{ 36\cdot \cos^2 \alpha + 36\cdot \sin^2 \alpha = 36}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}\)

Doszliśmy do twierdzenia, więc to co założyliśmy na początku jest prawdziwe.

7.

Ukryta treść:    

Krótsza przyprostokątna ma długość \(\displaystyle{ a=5}\), a kąty wartości \(\displaystyle{ 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ}\)
Wartość sinusa to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta alfa do przeciwprostokątnej. Oznaczmy \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) - przyprostokątne oraz \(\displaystyle{ c}\) - przeciwprostokątna
\(\displaystyle{ \sin30^\circ= \frac{5}{c}}\)

\(\displaystyle{ c\cdot \sin30^\circ =5}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{5}{\sin30^\circ}= \frac{5}{ \frac{1}{2} } =5\cdot2=10}\)

8.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{2}{7}}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - ( \frac{2}{7} )^2= 1- \frac{4}{49} = \frac{45}{49}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha= \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{ \sqrt{45} }{7}= \frac{3\cdot \sqrt{5} }{7}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym.

9.

Ukryta treść:    

Oznaczmy przyprostokątne odpowiednio \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ x+3}\)
Z definicji tangens kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. Tutaj będziemy mieć:
\(\displaystyle{ \frac{x+3}{x}=1,6}\)

\(\displaystyle{ \frac{x+3}{x}= \frac{16}{10}= \frac{8}{5}}\)

\(\displaystyle{ (x+3)\cdot5=8\cdot x}\)

\(\displaystyle{ 5x+15=8x}\)

\(\displaystyle{ 15=3x}\)

\(\displaystyle{ x=5}\)

\(\displaystyle{ x+3=5+3=8}\)

Przyprostokątne mają długości odpowiednio \(\displaystyle{ 5}\) oraz \(\displaystyle{ 8}\).

10.

Ukryta treść:    

Trójkąt ten dzielimy na \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty prostokątne. Przyprostokątne mają długości \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ 10}\). Tangens kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) przy podstawie wynosi \(\displaystyle{ \frac{10}{3}=3 \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ \tan\alpha=3 \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha \approx 18^{\circ}24{^}'}\)

11.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow \tg\alpha= \sqrt{ \frac{1}{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ \tg\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ 3\cdot\sin\alpha= \sqrt{3} \cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ 9\cdot\sin^2\alpha=3\cdot\cos^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ 3\cdot\sin^2\alpha=\cos^2\alpha}\)

Teraz podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ \sin^2\alpha+3\cdot\sin^2\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ 4\cdot\sin^2\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ \sin^2\alpha= \frac{1}{4}}\)

Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry, więc:

\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=30^\circ}\)