4 różne zadania

[gatek]

Witam. Mam kilka zadań z trygonometrii, w których wychodzą mi trochę inne wyniki niż w odpowiedziach w zbiorze.

1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha }=2}\), oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\tg ^{2} \alpha + \frac{1}{\tg ^{2} \alpha } }}\) Tego nie wiem jak rozwiązać

2. Oblicz:
\(\displaystyle{ \frac{{\sin 225 ^\circ \cdot \cos \frac{2}{3} \pi \cdot \tg \frac{5}{3} } \pi }{\tg 240^\circ}}\)

3. W ciągu arytmetycznym \(\displaystyle{ ( a_{n} )}\) trzeci wyraz jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\), a szósty wyraz tego ciągu jest równy \(\displaystyle{ \pi}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos a _{5} - \sin a _{7}}\).

4. Podaj odpowiednie założenia i sprawdź czy tożsamością jest równość:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\sin ^{2}\cos ^{2} \alpha +\cos ^{4}=1}\) tego też nie wiem jak zrobić.


1 i 4 nie wiem jak zrobić, natomiast 2 i 3 mam takie rozwiązania:

2.
\(\displaystyle{ \frac{\sin 225 ^{o} \cdot \cos \frac{2}{3} \pi \cdot \tg \frac{5}{3} \pi}{\tg 240^\circ} = \frac{\sin (2 \cdot 90^\circ+45^\circ) \cdot \cos (1 \cdot 90^\circ+30^\circ) \cdot \tg (3 \cdot 90^\circ+30^\circ)}{\tg (2 \cdot 90^\circ+60^\circ)}=\\= \frac{-\sin 45^\circ \cdot (-\sin 30^\circ) \cdot (-\ctg 30^\circ)}{\tg 60^\circ}= \frac{ - \frac{ \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \sqrt{3}) }{ \sqrt{3} }= \frac{- \sqrt{2} }{4}}\)
w zbiorze jest taka sama odpowiedź, ale nie jestem pewna czy dobrze zrobiłam, czy przypadkiem odpowiedź mi się zgadza

3. nie będę wszystkiego wyliczać tylko to co mi źle wyszło.
\(\displaystyle{ r= \frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{5} = \frac{5 }{6} \pi}\)
\(\displaystyle{ a_{7} =\frac{7}{6}\pi}\) i to jest tak samo jak w odpowiedziach

i teraz mam problem z tym:
\(\displaystyle{ \cos a _{5} - \sin a _{7}= \cos \frac{5 }{6} \pi-\sin \frac{7}{6} \pi =\cos 150^\circ - \sin 210^\circ=\\=\cos (1 \cdot 90^\circ+60^\circ-\sin (2 \cdot 90^\circ+30^\circ)=\sin 60^\circ-(-\sin 30^\circ)= \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{3}+1 }{2}}\)

a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{1- \sqrt{3} }{2}}\)

będę wdzięczna za sprawdzenie i rozwiązania

[klaustrofob]

1. podnieś wyjściową równość stronami do kwadratu
4. z pierwszego i drugiego składnika wyciągnij \(\displaystyle{ \sin^2 \alpha}\) przed nawias. zauważ następnie, że gdyby równość była tożsamością, to musiałoby być \(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\cos^4\alpha}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha}\), co jest niemożliwe
3. \(\displaystyle{ \cos 150^{\circ}=-\sqrt{3}/2}\), bo to jest 2 ćw.

[gatek]

co do 1. to dziękuję,
ale do zadania 4 jest odpowiedź "zachodzi dla każdej miary kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)"
i jak jeszcze raz pomyślałam nad tym to wyszło mi takie cosik:
\(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha +\cos^{4} \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha +\cos^{4} \alpha =1-\sin^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos^{2}\alpha (\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha) =1-\sin^{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos^{2}\alpha (\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha) =\cos^{2}\alpha/ : \cos^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha=1}\)
więc chyba jednak o to co mi wyszło chodziło, chyba że coś po drodze poknociłam


a w 3. przecież cosinus przechodzi w kofunkcje (przynajmniej mnie uczyli, że gdy \(\displaystyle{ \cos150}\) rozpisze się na iloczyn \(\displaystyle{ \cos(a \cdot 90+ \alpha)}\) czyli wyjdzie w tym przypadku \(\displaystyle{ \cos(1\cdot 90+60)}\) to gdy \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzyste to funkcja przechodzi w kofunkcje)

[witek1902]

2. zrobione dobrze.

Jeżeli chodzi o 3. zadanie to klaustrofobowi chodziło o to, że zapomniałaś o minusie.
O znaku decyduje funkcja pierwotna, a nie kofunkcja, a \(\displaystyle{ \cos}\) w drugiej ćwiartce jest ujemny.

4. rozwiązane poprawnie, bardzo fajnie to wymyśliłas