Rownanie trygonometryczne

MiszczU · Post autor: **MiszczU** » 22 lut 2007, o 18:19

Witam!
Mam problem z zadankiem... oto tresc:

Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) funkcja okreslona wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=x^2-(4\sqrt{2}cos\alpha)x+4sin2\alpha}\)
ma najmniejsza wartosc rowna zero?

Prosilbym o pomoc przy rozwiazaniu tego zadania...
Pozdrawiam!

soku11 · Post autor: **soku11** » 22 lut 2007, o 18:24

Zadanie mimo wszystko nie takie trudne

Funkcja jest 'usmiechnieta' (polubilem to stwierdzenie:D) wiec ramiona ida do gory. Parabola bedzie miala najmniejsza wartosc rowna 0 wtedy, gdy bedzie miala z nia jeden punkt wspolny. Warunkiem jest wiec:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

czyli:
\(\displaystyle{ \Delta=(4\sqrt{2}cos\alpha)^{2}-4*4sin2\alpha =32cos^{2}\alpha -16sin2\alpha =\\
=32cos^{2}\alpha -16(2sin\alpha cos\alpha)=32cos^{2}\alpha-32sin\alpha cos\alpha
\\
32cos^{2}\alpha-32sin\alpha cos\alpha=0\\
cos^{2}\alpha-sin\alpha cos\alpha=0\\
cos\alpha(cos\alpha-sin\alpha)=0\\
cos\alpha=0\quad lub \quad cos\alpha-sin\alpha=0\\
cos\alpha=0\quad lub \quad cos\alpha-cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=0\\}\)

Stosujesz wzor na roznice cosinusow i obliczasz. Dalej sobie poradzisz

POZDRO

POZDRO

MiszczU · Post autor: **MiszczU** » 22 lut 2007, o 18:53

Dzieki... wlasnie najwiecej czasu spedzilem na rozkminianiu czy wlasnie delta ma byc rowna zero... i czym dluzej myslalem tym mniej wiedzialem tak wiec dalem zadanko tutaj... tylko zastanawia mnie jedno skad znasz taki wzor na sinusa bo pierwszy raz widze (chodzi mi o to co zastosowales w ostatniej linijce ze \(\displaystyle{ sin\alpha=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\))

soku11 · Post autor: **soku11** » 22 lut 2007, o 19:01

Hehe. To jest w zasadzie zastosowanie kofunkcji Bo jak masz np:
\(\displaystyle{ sin(90^{\circ}-45^{\circ})=cos45^{\circ}}\)
Mozesz odczytac to nawet z wykresu. Ale lepiej zapamietaj ze sie tak zamienia. POZDRO

MiszczU · Post autor: **MiszczU** » 22 lut 2007, o 19:14

Dzieki bardzo za pomoc juz wszystko widze jasno! na pewno przyda mi sie to w pozniejszym rozwiazywaniu...
W ramach podziekowania klikam ze pomogles ;]

[ Dodano: 22 Luty 2007, 21:06 ]
Rozwiazanie wychodzi takie:
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi}\) \(\displaystyle{ lub}\) \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}+k\pi}\)
tak?