równania i nierówności trygonometryczne

[uplinks]

Witam
Mam spore problemy z równaniami i nierównościami trygonometrycznymi. Bardzo proszę o pomoc:

1.)sinx + sin2x=0
2.)sinx + \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)cosx=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
3.)sinx+ sin2x= cosx + cos2x
4.)tg(x+\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\))>\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

Z gory dziekuję za wszystkie odpowiedzi i pozdrawiam

[Lady Tilly]

1)
\(\displaystyle{ sinx+2sinxcosx=0}\)
\(\displaystyle{ sinx(1+2cosx)=0}\)
\(\displaystyle{ sinx=0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ cosx=\frac{-1}{2}}\)
2)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{4}}\)

[uplinks]

dziekuję o to wlasnie chodzilo dalej juz sobie poradze;]

[ Dodano: 22 Luty 2007, 10:29 ]
proszę o rozwiązanie jeszcze dwóch przykładów

[Vixy]

w tym 3 cos mi nie pasuje mi wyszlo :



\(\displaystyle{ sinx+2sinxcosx=2cos^2x+cosx-1}\)

\(\displaystyle{ 2sinx(cosx+1/2)=2(cosx+1)(cosx-1/2)}\)


no i ztym dalej nic nie mozna zrobic ...

[Tristan]

Ad.3
Korzystając z wzorów na sumę sinusów i cosinusów, później z wzorów redukcyjnych i różnicy sinusów mamy:
\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x= \cos x + \cos 2x \\ 2 \sin \frac{ x + 2x}{2} \cos \frac{ x+2x}{2}=2 \cos \frac{ x+2x}{2} \cos \frac{ x-2x}{2} \\ \sin \frac{3}{2} x - \cos \frac{3}{2} x=0 \vee \cos( - \frac{x}{2})=0 \\ \sin \frac{3}{2} x - \sin(90^{\circ} - \frac{3}{2} x)=0 \vee \cos \frac{x}{2}=0 \\ 2 \cos 45^{\circ} \sin ( \frac{3}{2} x - 45^{\circ} )=0 \vee \cos \frac{x}{2}=0 \\ \sin( \frac{3}{2} x - \frac{ \pi}{4} )=0 \vee \cos \frac{x}{2}=0}\)
Ad.4
Wprost z definicji:
Niech \(\displaystyle{ x_{0}}\) będzie tym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ tg x=a}\), które należy do przedziału \(\displaystyle{ (- \frac{ \pi}{2} ; \frac{ \pi}{2} )}\). Wówczas \(\displaystyle{ tg x>a \Longleftrightarrow x ( x_{0} + k \pi ; \frac{ \pi}{2} + k \pi )}\), gdzie \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oznacza zbiór liczb całkowitych. Widzimy więc, że dla \(\displaystyle{ tg (x+ \frac{ \pi}{3})= \sqrt{3}}\) mamy \(\displaystyle{ x+ \frac{ \pi}{3}=\frac{ \pi}{3}}\), więc \(\displaystyle{ x_{0}=0}\), a przedział jest już oczywisty

[jasny]

4.
\(\displaystyle{ \tan{(x+\frac{\pi}{3})}>\sqrt3}\)
\(\displaystyle{ x+\frac{\pi}{3}\in(\frac{\pi}{3}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi)}\)
\(\displaystyle{ x\in(k\pi;\frac{\pi}{6}+k\pi),\;k\in\mathbb{C}}\)