Sprawdź tożsamość

[Peres]

Witam. Mam problem z taką tożsamością :

\(\displaystyle{ \frac{\cos ^{3} \alpha - \sin ^{3} \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha } = 1+\sin \alpha \cos \alpha}\)

Próbowałem coś z jedynki trygonometrycznej wyliczać ale jakoś nic mi nie wychodzi też.

[Qń]

W liczniku użyj wzorów na różnicę sześcianów.

Q.

[Peres]

Nie chcę zakładać nowego tematu a problem mam z kolejną tożsamością :

\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{4} \alpha - \cos ^{4} \alpha + \cos ^{2} \alpha }{1-\cos \alpha } = \cos \alpha +1}\)

Tutaj po zastosowaniu wzorów na różnicę 4 potęg nie wygląda nic na to by się mogło coś skrócić i też stoję z tym w miejscu.

Ok,jakoś to ruszyłem po rozbiciu tych 4 potęg na takie coś :

\(\displaystyle{ \frac{(\sin ^{2} \alpha ) ^{2} - (\cos ^{2} \alpha ) ^{2} + \cos ^{2} \alpha }{1-\cos \alpha }}\)

i teraz po zastosowaniu wzoru na różnice kwadratów otrzymałem taką postać :

\(\displaystyle{ \frac{1-\sin ^{2} \alpha + 2\cos ^{2} \alpha }{1 -\cos \alpha }}\)

Po zamianie w liczniku \(\displaystyle{ 1}\) na jedynkę trygonometryczną i zdredukowaniu dostaję takie coś :

\(\displaystyle{ \frac{3\cos ^{2} \alpha }{1- \cos \alpha}}\)

No i teraz nie wiem co zrobić z tym

[bosa_Nike]

Zrobiłeś błąd w przekształceniach przy rozkładaniu różnicy czwartych potęg. Powinna zostać różnica kwadratów.

[Peres]

Hmm znalazłem błąd, więc teraz po poprawieniu tego dochodzę do takiego czegoś:

\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2} \alpha }{1-\cos \alpha }}\)

i nie wiem jak to ruszyć by wyszło \(\displaystyle{ 1 + \cos\alpha}\)

[bosa_Nike]

W liczniku trzeba skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

[Peres]

Zapomniałem napomknąć wcześniej,że też korzystałem właśnie zamieniając \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha}\)

i gdy rozpiszę kwadrat cosinusa to wynik końcowy jest \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) a jedynki nie mam gdzies niestety

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ \sin^2x=1\red{^2}-\cos\red{^2}x}\)