Wykaż

[grzegorz87]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}}\) i \(\displaystyle{ \alpha (0,\frac{\pi}{2})}\), oraz że \(\displaystyle{ cos\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\) i \(\displaystyle{ \beta (0,\frac{\pi}{2})}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}}\)

[Tristan]

Korzystając z jedynki trygonometrycznej wyliczamy, że \(\displaystyle{ \cos^2 = 1 - \sin^2 =1- \frac{5}{25}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}}\), czyli \(\displaystyle{ \cos =\frac{2}{ \sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos =- \frac{ 2 \sqrt{5}}{5}}\). Ujemna wartość cosinusa odpada ze względu na to w jakiej ćwiartce znajduje się kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). W podobny sposób otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \sin \beta= \frac{ \sqrt{10}}{10}}\). Mamy z wzoru na sinus sumy:
\(\displaystyle{ \sin( + \beta) = \sin \cos \beta + \cos \sin \beta \\ \sin( + \beta)= \frac{ \sqrt{5}}{5} \frac{ 3 \sqrt{10}}{10} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \frac{ \sqrt{10}}{10}= \frac{5 \sqrt{50}}{50}= \frac{ \sqrt{50}}{\sqrt{100}}= \sqrt{ \frac{1}{2}}= \frac{ \sqrt{2}}{2} \\ + \beta= \frac{ \pi}{4}}\)