oblicz wartość wyrażenia

[marcinn95]

Wiedząc że \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) , oblicz
a) \(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x}\)
b) \(\displaystyle{ \sin^{3} x + \cos^{3} x}\)

Bardziej zależy mi na podpunkcie a, bo bez tego nic nie zrobie.

[mario54]

Podnieś stronami do kwadratu i po lewej masz wówczas
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x+2\sin x\cos x}\) Następnie wyznacz samo \(\displaystyle{ \sin x\cos x}\)

[sieniaf]

Wskazówka do a:

\(\displaystyle{ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\)

warto też pamiętać cały czas o jedynce trygonometrycznej rozwiązując dowolne równanie trygonometryczne.
---
edit: mario54 mnie ubiegł /:
To żeby post nie poszedł na marne, dodam, że do trzeciego przyda się wynik z pierwszego i znajomość \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\)

[marcinn95]

mario54,
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x}\) to ma być do kwadratu?? Jeśli nie, to skąd to sie wzięło. Po pierwsze to do kwadratu podnosisz \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) tak?
Kurcze nie myśle nic dzisiaj ;/

sieniaf,
Dzięki, to o trzecim wiem, myśle że to zrobie gdy będę miał wyznaczony ten iloczyn z a).

[mario54]

Całe równanie stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ (\sin x + \cos x)^2= \left( \frac{1}{ \sqrt{2} }\right) ^2 \\
\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x = \frac{1}{2} \\
1 +2\sin x\cos x =\frac{1}{2} \\}\)

EDIT: Dzieki siernaf za poprawkę ...
ale chyba \(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\) będzie

[sieniaf]

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ (\sin x + \cos x)^{2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+2 \sin x \cos x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x \cos x= -\frac{1}{4}}\)

//poprawiłem dla potomnych.

[marcinn95]

mario54, sieniaf,
No własnie. Te kwadraty. Ja myśle co to za sposoby podnoszenia do kwadratu;d
Tak, wynik ma być \(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\) Dzieki wam chłopaki

[sieniaf]

ale chyba \(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\) będzie

Tak, wynik ma być \(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\) Dzieki wam chłopaki

Czemu?

---
Edit:
Jezu, już wiem.

[marcinn95]

xD
Hmm... Przy okazji, o ile tu jeszcze zaglądniecie
\(\displaystyle{ \tg 30^{\circ} \cdot \tg 40^{\circ} \cdot \tg 50^{\circ} \cdot \tg 60^{\circ} = ?}\)
Jak to moge obliczyć? Nie żebym was wykorzystywał ;p

[tatteredspire]

Np. tak - policz \(\displaystyle{ \tg 30^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ \tg 60^\circ}\) i pokaż, że \(\displaystyle{ \tg 40^\circ \cdot \tg 50^\circ=\frac{\sin 40^\circ \cdot \sin 50^\circ}{\cos 40^\circ \cdot \cos 50^\circ}=1}\)

stosując tożsamość \(\displaystyle{ \cos ( \alpha - \beta )-\cos( \alpha + \beta )=2\sin \alpha \sin \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \cos ( \alpha - \beta )+\cos( \alpha + \beta )=2\cos \alpha \cos \beta}\)