Udowodnij tożsamość trygonometryczną.

miszczo997 · Post autor: **miszczo997** » 16 kwie 2012, o 11:05

Witam.
Rozwiązuję sobie tożsamość:
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{\tg x+\ctg x}= \sin ^{2}x}\)

lewa strona
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{\tg x+\ctg x}=1+ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 1+ \frac{ \sin ^{2}x }{ \cos ^{2}x }= \frac{1}{ \cos ^{2}x}}\)

Przyrównuję L=P i nie wiem co dalej z tym zrobić

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \cos ^{2}x}=\sin ^{2}x}\)
Proszę o jakąś wskazówkę, albo o wskazanie błędu w obliczeniach.

Qń · Post autor: Qń » 16 kwie 2012, o 11:10

miszczo997 pisze:\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{\tg x+\ctg x}=1+ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}\)

Skąd ta równość?

Q.

miszczo997 · Post autor: **miszczo997** » 16 kwie 2012, o 11:14

\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{\tg x+\ctg x}= \frac{\tg x}{\tg x}+ \frac{\tg x}{\ctg x}= 1+ \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}=1+ \frac{ \sin ^{2}x }{ \cos ^{2}x }}\)

///Dobrze
już widzę swój głupi błąd
ach aż wstyd

Poprawna odpowiedź
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{\tg x+\ctg x}= \frac{\sin x}{\cos x}:\left( \frac{\sin x}{\cos x}+ \frac{\cos x}{\sin x} \right) = \frac{\sin x}{\cos x}: \frac{1}{\sin x \cdot \cos x}= \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x \cdot \sin x= \sin ^{2}x}\)