Rozwiąż równanie trygonometryczne.

[martox7]

Witam.
Proszę o pomoc w 3 przykladach aby je po kolei rozpisać, może wtedy zrozumiem(ponieważ wyniki mi się nie chcą zgodzic)
\(\displaystyle{ 3\ctg (2x+ \pi )=- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \cos (2x- \frac{ \pi }{6})=- \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \tg ^{2} 2x=3}\)
Proszę o szybką odpowiedź
Dziękuje z góry za pomoc:)

-- 12 kwi 2012, o 17:41 --

Jestem trochę niecierpliwy. Czy ktoś mógłby mi użyczyć pomocy.

[mario54]

Prosta zasada:
\(\displaystyle{ 3\ctg (2x+ \pi )=- \sqrt{3} |:3 \\
\ctg (2x+ \pi ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Jeśli nie widzisz od razu możesz wrzucić \(\displaystyle{ t=2x+\pi}\) i masz \(\displaystyle{ \ctg t=\frac{- \sqrt{3}}{3}}\) obliczyć wrócić do podstawienia. Z wykresu mamy, że \(\displaystyle{ t= \frac{2}{3}\pi+ k\pi}\).
ale ja polecę od razu czyli
\(\displaystyle{ 2x+ \pi = \frac{2}{3}\pi + k\pi \\
2x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \\
x=-\frac{\pi}{6}+ \frac{k\pi}{2} ; k \in C}\)

Drugie bez liczenia można stwierdzić brak rozwiązań bo cosinus przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \left\langle -1;1\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \tg ^{2} 2x=3 \\
\tg 2x= - \sqrt{3} \vee \tg 2x= \sqrt{3}}\)

i podobnie jak pierwsze \(\displaystyle{ 2x= \frac{2}{3}\pi + k\pi \vee 2x= \frac{\pi}{3}+ k\pi ; k \in C}\)

[martox7]

Ja robiłem tak :
\(\displaystyle{ \ctg (2x+\pi) = \frac{-\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ x=\pi/3}\)
\(\displaystyle{ 2x+\pi= \frac{-\pi}{3}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ 2x=- \frac{2\pi}{3}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-2\pi}{6}+ \frac{k\pi}{2}}\)
Jaki tu jest bład??

[mario54]

\(\displaystyle{ x=\pi/3}\)

Nie rozumiem tej linijki trochę.

\(\displaystyle{ 2x+\pi= \frac{\pi}{3}+k\pi}\)

\(\displaystyle{ \ctg \frac{\pi}{3} \neq -\frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
Chyba że ma to związek z linijką wyżej to cofam, ale jeśli wstawiasz pod \(\displaystyle{ -\frac{ \sqrt{3} }{3}}\) to błąd

[martox7]

Powinno być \(\displaystyle{ x _{0}=- \frac{\pi}{3}}\)
Choćby tak nas uczyli, inaczej kąt najbliższy wynikowi. I wstawiam to pod wzór funkcji \(\displaystyle{ x=x _{0}+k\pi}\)

[mario54]

Ok dobrze mówisz, już widzę pomyłkę
\(\displaystyle{ - \frac{\pi}{3}- \pi= - \frac{4}{3}\pi}\) a napisałeś \(\displaystyle{ - \frac{2}{3}\pi}\)
dojdziesz do wyniku poprawnego, z różnicą przesunięcia o 1 okres (bo wzięliśmy inny punkt startu).

[martox7]

Czyli wyjdzie
\(\displaystyle{ x=- \frac{4}{6}\pi+ \frac{k\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{3}\pi+ \frac{k\pi}{2}}\)
I to też jest poprawny wynik?

[mario54]

Tak poprawny, wstaw \(\displaystyle{ k=1}\) i będziesz miał to samo co ja czyli \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{6}}\) . Tak samo ja wstawię \(\displaystyle{ k=-1}\) i dojdę do Twojego wyniku.

[martox7]

Dzięki za wszystko. Lecz mam jeszcze jedno pytanie.
Czy odejmować lepiej tak jak ty \(\displaystyle{ x=\pi - x_{0}}\)

[mario54]

Obojętnie to tylko przekształcenia. Brałem z wykresu wartość dla mnie było łatwiej wstawić \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\) bo jest dodatnie a generalnie liczby dodatnie są "łatwiejsze", jednak nie jest to regułą. Kto co woli. Obie odpowiedzi są tak samo poprawne.

[martox7]

Mam jeszcze jedno pytanie... zamęczę Cię.
Powiedz mi dlaczego właściwie obydwa wyniki są prawidłowe jeżeli z wykresu można odczytać ale wartości przeciwne np \(\displaystyle{ 0,5}\) i \(\displaystyle{ -0,5}\)??
I mam sprawdzić okresowość funkcji i wychodzi mi za dużo o 2 razy.
\(\displaystyle{ f(x)=\tg ( \sqrt{3} \cdot x) - 2 \\
\tg \sqrt{3}(x+T)-2=\tg \sqrt{3} \\
\sqrt{3} T= 2\pi \\
T= \frac{ 2\sqrt{3}\pi }{3}}\)
\(\displaystyle{ T= \frac{ \sqrt{3}\pi }{3}}\) - to jest poprawny wynik.Gdzie tkwi bląd??

[piasek101]

Skąd masz \(\displaystyle{ 2\pi}\) ?