Rozwiaz rownanie:
\(\displaystyle{ (cosx)^{sin^{2}x-\frac{3}{2}sinx+\frac{1}{2}}=1}\)
rownanie trygonomteryczne
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
rownanie trygonomteryczne
Tutaj masz kilka przypadkow
Najprostszy:
\(\displaystyle{ (cosx)^{ sin^{2}x-\frac{3}{2}sinx+\frac{1}{2}}=(cosx)^{0}\\
sin^{2}x-\frac{3}{2}sinx+\frac{1}{2}=0}\)
Drugi przypadek, gdy:
\(\displaystyle{ cosx=1}\)
Oraz trzeci, gdy:
\(\displaystyle{ cosx=-1}\)
a wykladnik potegi bedzie liczba parzysta (wystarczy wyliczyc sinus i podstawic).
POZDRO
Najprostszy:
\(\displaystyle{ (cosx)^{ sin^{2}x-\frac{3}{2}sinx+\frac{1}{2}}=(cosx)^{0}\\
sin^{2}x-\frac{3}{2}sinx+\frac{1}{2}=0}\)
Drugi przypadek, gdy:
\(\displaystyle{ cosx=1}\)
Oraz trzeci, gdy:
\(\displaystyle{ cosx=-1}\)
a wykladnik potegi bedzie liczba parzysta (wystarczy wyliczyc sinus i podstawic).
POZDRO
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
rownanie trygonomteryczne
Mamy do rozważenia trzy przypadki:
1. Teoria potęgi o wykładniku naturalnym mówi nam, że \(\displaystyle{ a^0=1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a 0}\). Zakładamy więc, że \(\displaystyle{ \cos x 0}\) i do rozwiązania mamy równanie:
\(\displaystyle{ \sin^2 x - \frac{3}{2} \sin x + \frac{1}{2}=0 \\ 2 \sin^2 x -3 \sin x +1=0 \\ 2 \sin^2 x - 2 \sin x - \sin x +1=0 \\ 2 \sin x ( \sin x -1) - ( \sin x -1)=0 \\ ( \sin x -1)( 2 \sin x -1)=0 \\ \sin x =1 \sin x = \frac{1}{2}}\)
2. Ponieważ jednak dalej \(\displaystyle{ 1^a=1}\) dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ a}\), jeśli \(\displaystyle{ \cos x =1}\), wtedy wyrażenie \(\displaystyle{ \sin^2 x- \frac{3}{2} \sin x + \frac{1}{2}}\) może być dowolne.
3. Jeśli natomiast \(\displaystyle{ \cos x =-1}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ \sin^2 x - \frac{3}{2} \sin x + \frac{1}{2}}\) ma być parzyste, jednak łatwo sprawdzić, że wyrażenie to wtedy może być jedynie równe 0 lub 2. Do rozwiązania są więc dwa równania.
1. Teoria potęgi o wykładniku naturalnym mówi nam, że \(\displaystyle{ a^0=1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a 0}\). Zakładamy więc, że \(\displaystyle{ \cos x 0}\) i do rozwiązania mamy równanie:
\(\displaystyle{ \sin^2 x - \frac{3}{2} \sin x + \frac{1}{2}=0 \\ 2 \sin^2 x -3 \sin x +1=0 \\ 2 \sin^2 x - 2 \sin x - \sin x +1=0 \\ 2 \sin x ( \sin x -1) - ( \sin x -1)=0 \\ ( \sin x -1)( 2 \sin x -1)=0 \\ \sin x =1 \sin x = \frac{1}{2}}\)
2. Ponieważ jednak dalej \(\displaystyle{ 1^a=1}\) dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ a}\), jeśli \(\displaystyle{ \cos x =1}\), wtedy wyrażenie \(\displaystyle{ \sin^2 x- \frac{3}{2} \sin x + \frac{1}{2}}\) może być dowolne.
3. Jeśli natomiast \(\displaystyle{ \cos x =-1}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ \sin^2 x - \frac{3}{2} \sin x + \frac{1}{2}}\) ma być parzyste, jednak łatwo sprawdzić, że wyrażenie to wtedy może być jedynie równe 0 lub 2. Do rozwiązania są więc dwa równania.