równanie tryg. z szeregiem geometrycznym

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
muller
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 8 gru 2006, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Centrum
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 6 razy

równanie tryg. z szeregiem geometrycznym

Post autor: muller »

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ cos^{2}x+cos^{3}x+cos^{4}x+...=cosx+1}\)

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}{(sin2x+sin^{3}2x+sin^{5}2x+..+sin^{2n-1}2x)}=\frac{2}{3}}\)
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

równanie tryg. z szeregiem geometrycznym

Post autor: luka52 »

zał. cos x ≠ 1
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2{x}}{1-\cos{x}} = \cos{x} + 1\\
\cos^2{x} = 1- \cos^2{x}\\
\cos^2{x} = \sin^2{x}}\)
Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

równanie tryg. z szeregiem geometrycznym

Post autor: Vixy »

dobra to ja wybieram to pierwsze


najpierw warunek ze |q|
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

równanie tryg. z szeregiem geometrycznym

Post autor: Tristan »

Zauważ, że w drugim równaniu po lewej stronie masz równiez sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_{1}= \sin 2x, q= \sin^2 2x}\). Oczywiście ma zachodzić \(\displaystyle{ |q| (-1;1)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{z}{ 1 - z^2}= \frac{2}{3} \\ 3z=2(1- z^2) \\ 2z^2 +3z-2=0 \\ 2z^2 +4z -z-2=0 \\ 2z(z+2) - (z+2)=0 \\ (z+2)( 2z-1)=0 \\ z=-2 z= \frac{1}{2}}\)
Oczywiście pierwsze rozwiązanie nie spełnia założeń, więc zostało do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ \sin 2x= \frac{1}{2}}\) z którym już sobie poradzisz.
ODPOWIEDZ