Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ cos^{2}x+cos^{3}x+cos^{4}x+...=cosx+1}\)
Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}{(sin2x+sin^{3}2x+sin^{5}2x+..+sin^{2n-1}2x)}=\frac{2}{3}}\)
równanie tryg. z szeregiem geometrycznym
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
równanie tryg. z szeregiem geometrycznym
zał. cos x ≠ 1
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2{x}}{1-\cos{x}} = \cos{x} + 1\\
\cos^2{x} = 1- \cos^2{x}\\
\cos^2{x} = \sin^2{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2{x}}{1-\cos{x}} = \cos{x} + 1\\
\cos^2{x} = 1- \cos^2{x}\\
\cos^2{x} = \sin^2{x}}\)
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
równanie tryg. z szeregiem geometrycznym
Zauważ, że w drugim równaniu po lewej stronie masz równiez sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_{1}= \sin 2x, q= \sin^2 2x}\). Oczywiście ma zachodzić \(\displaystyle{ |q| (-1;1)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{z}{ 1 - z^2}= \frac{2}{3} \\ 3z=2(1- z^2) \\ 2z^2 +3z-2=0 \\ 2z^2 +4z -z-2=0 \\ 2z(z+2) - (z+2)=0 \\ (z+2)( 2z-1)=0 \\ z=-2 z= \frac{1}{2}}\)
Oczywiście pierwsze rozwiązanie nie spełnia założeń, więc zostało do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ \sin 2x= \frac{1}{2}}\) z którym już sobie poradzisz.
\(\displaystyle{ \frac{z}{ 1 - z^2}= \frac{2}{3} \\ 3z=2(1- z^2) \\ 2z^2 +3z-2=0 \\ 2z^2 +4z -z-2=0 \\ 2z(z+2) - (z+2)=0 \\ (z+2)( 2z-1)=0 \\ z=-2 z= \frac{1}{2}}\)
Oczywiście pierwsze rozwiązanie nie spełnia założeń, więc zostało do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ \sin 2x= \frac{1}{2}}\) z którym już sobie poradzisz.