Działania z wykresami funkcji

[Rantaurel]

Witam

Dla wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) dla \(\displaystyle{ X \in \left\langle - \frac{ \pi }{2} ;2 \pi \right)}\)
Mam rozwiązać następujące równanie:

\(\displaystyle{ f(x)=1}\)

Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, proszę o pomoc i rozwiązanie tego przykładu w paru prostych krokach, abym mógł analogicznie wykonać pozostałe

[dexter90]

Czyli \(\displaystyle{ \sin x-1=0}\) w przedziale \(\displaystyle{ X \in \left\langle - \frac{ \pi }{2} ;2 \pi \right)}\)

Jeszcze coś podpowiedzieć? Jeszcze prościej jest po prostu szukaniu wartości funkcji sinus, która w Twoim przedziale osiąga wartość równą 1.

[Rantaurel]

Ale mam tu rozwiązać równianie. Czyli o to w rozwiązaniu chodzi, żebym znalazł wszystkie X tej funkcji ?
Jeśli tak, to czy poniższa odpowiedź jest prawidłowa ?:

\(\displaystyle{ f(x)=1}\)
\(\displaystyle{ X \in \left\{ \frac{ \pi }{2} \right\}}\)

[dexter90]

Tak.

[Rantaurel]

Jeżeli chodzi o rozwiązywanie nierówności takiej jak ta (też do tego wykresu):

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}}\)

Czyli dla:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}}\)

To patrząc na wykres można odczytać, że:

\(\displaystyle{ X \in \left\langle - \frac{ \pi }{6} ; \frac{ \pi }{6} \right\rangle \cup \left\langle \frac{5}{6} \pi ; \frac{7}{6} \pi \right\rangle \cup \left\langle \frac{11}{6} \pi ; 2 \pi \right)}\)

Czy wszystko dobrze zrobiłem ?

[dexter90]

Super. Moim zdaniem winien być pomiędzy przedziałami znak "sumy".

[Rantaurel]

Mam rozwiązać następujące równanie:

\(\displaystyle{ \cos2x=1}\)

To mój sposób rozwiązywania:

\(\displaystyle{ 2x=2k \pi / :2}\)
\(\displaystyle{ x=k \pi}\)

Odp.: \(\displaystyle{ x=k \pi ,k \in C}\)

Czy wszystko robię dobrze ?

[dexter90]

Bardzo dobrze.

[Rantaurel]

To jednak wyszło bardziej skomplikowane:

\(\displaystyle{ \cos4x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ 4x= \frac{ \pi }{6}}\) (odczytując z wykresu, tam gdzie \(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) x jest rowny \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\))

\(\displaystyle{ 4x= \frac{ \pi }{6} + 2k \pi \vee 4x= \frac{11 \pi }{6} +2k \pi / :4}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{24}+ \frac{1}{2}k \pi \vee x= \frac{11 \pi }{24}+ \frac{1}{2}k \pi}\)
\(\displaystyle{ k \in C}\)

Czy dobrze rozwiązałem to zadanie ? I dlaczego "lub" a nie "i" ? (wykonuję to analogicznie do innych przykładów)

[piasek101]

Masz ok.

Dlaczego lub - bo masz podać wszystkie przecięcia (dla (i) nie miałbyś żadnego).