Trygonometria - obliczanie wartości wyrażenia

[kitt94]

Witam,

na wstępie chciałem się przywitać, regulamin przeczytany i zaakceptowany, mam nadzieję, że nic źle w pierwszym poście nie zrobię

Oto zadanie, z którym mam problem:

Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}\) , jeśli \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{3}{4} , \ctg \beta = 1}\) i \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in \left( \pi , \frac{3}{2} \pi \right)}\) .

Mimo usilnych prób nie udało mi się tego rozwiązać. Metoda jest pewnie bardzo prosta, ale czasem na najprostsze rozwiązania jest wpaść najtrudniej...

Z góry dzięki za pomoc. Wesołych świąt!

[JakimPL]

\(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{3}{4}\cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \Rightarrow \cos^2\alpha\left(\frac{9}{16}+1\right)=1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\frac{16}{25}}\)

Wiesz, gdzie leżą kąty, więc dalej powinno być wszystko prosto. Dane wyrażenie sprowadzamy do funkcji cosinusów dwóch kątów, których wartości możemy wyliczyć.

[leapi]

z tangensa wyliczasz sinusa i cosinusa

\(\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }= \frac{3}{4}}\)

z tego \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{3}{4} \cos \alpha}\)

i podstawiasz do jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1}\)

uzyskując równie \(\displaystyle{ \left( \frac{3}{4}\cos \alpha \right)^2 +\cos^2 \alpha =1}\)

uwzględniając znaki w odpowiedniej ćwiartki.

[kitt94]

Dane wyrażenie sprowadzamy do funkcji cosinusów dwóch kątów, których wartości możemy wyliczyć.

Wszystko o czym napisałeś przyjąłem do wiadomości i wykonałem - pełna logika. Ale czy może liżej wytłumaczyć powyższy cytat?

[JakimPL]

Do obliczenia mamy:

\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}\)

Z danych wiemy, że (to, co zostało wyprowadzone z tangensa):

\(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{3}{4}\cos\alpha}\)

Analogicznie dla drugiego kąta:

\(\displaystyle{ \sin\beta =\cos\beta}\)

Uzyskujemy wyrażenie:

\(\displaystyle{ \frac{3}{4}\cos\alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \cos\beta=-\frac{1}{4}\cos\alpha \cdot \cos \beta}\)

Wartości kątów są dla Ciebie wyznaczalne.

[kitt94]

Ok, rozumiem, wielkie dzięki