Wyznacz rozwiązanie równania

[primabalerina01]

Prosze o sprawdzenie:
Wyznacz wszystkie rozwiazania równania \(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x-7\cos x-5=0}\)

Odp \(\displaystyle{ x \in ( \frac{ \pi }{3}, -\frac{ \pi }{3}, \frac{5}{3} \pi)}\)

Czy to wszytskie rozwiązania równania?

[Lider Artur]

zauważ, że funkcje trygonometryczne są okresowe. Więc będzie tutaj nieskończenie wiele rozwiązań

[primabalerina01]

A przepraszam nie podałam przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi\right\rangle}\)

[loitzl9006]

Podstaw sobie to \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3}}\) i zobacz, czy zachodzi równość...

[primabalerina01]

Zrobiłam to w ten sposób:

\(\displaystyle{ -2\cos ^{2}x-7\cos x-3=0 \\ \\
\cos x=t \ \ \ \ \ t \in \left\langle -1,1\right\rangle \\ \\
-2t ^{2}-7t-3=0 \\
t= \frac{1}{2} \\
\cos x= \frac{1}{2} \\
x= \frac{ \pi }{3}+2k \pi \vee x=- \frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)

Czyli odpowiedzią bedzie tylko \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3}}\)

[loitzl9006]

Prawdopodobnie coś źle masz w równaniu kwadratowym. Jak masz równanie

\(\displaystyle{ -2t ^{2}-7t-3=0}\)

to pomnóż sobie obustronnie razy \(\displaystyle{ (-1)}\) - wtedy przy liczeniu delty nie będziesz mieć "dodatkowych" minusów i będzie mniejsze ryzyko pomyłki.

[primabalerina01]

to i tak \(\displaystyle{ \Delta=25}\) i pierwiastek z delty wchodzi \(\displaystyle{ 5}\) . Więc wszytsko sie powinno zgadzac

[loitzl9006]

No tak, rzeczywiście. Policz teraz \(\displaystyle{ t _{1}, \ t _{2}}\).

[primabalerina01]

\(\displaystyle{ t _{1}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ t _{2}= -3}\) , które nie należy

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ -3}\) - ok
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) - czy na pewno?

[primabalerina01]

tak bo to wynika z założenia jak wyżej napisałam, że \(\displaystyle{ \cos x=t \ \ \ \ \ t \in \left\langle -1,1\right\rangle \\ \\}\)

[loitzl9006]

To zobacz:

Mamy równanie \(\displaystyle{ -2t ^{2} - 7t-3=0}\)

mnożymy obustronnie razy \(\displaystyle{ (-1)}\)

\(\displaystyle{ 2t ^{2} + 7t+3=0 \\ \Delta = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5 \\ \\ t _{1} = \frac{-7-5}{4} = -3 \\ \red t _{2} = \frac{-7+5}{4} = \frac{-2}{4} = - \frac{1}{2}}\)

***
bez mnożenia razy \(\displaystyle{ (-1)}\)

\(\displaystyle{ -2t ^{2} - 7t-3=0 \\ \Delta = 49-4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5 \\ \\ t _{1} = \frac{-(-7)-5}{-4} = \frac{7-5}{-4} = \frac{2}{-4} = - \frac{1}{2} \\ t _{2} = \frac{-(-7)+5}{-4} = \frac{12}{-4} = -3}\)

[primabalerina01]

Okeej, faktycznie tu był błąd.
Więc odpowiedz będzie zupełnie inna.
Dla \(\displaystyle{ \cos x=- \frac{1}{2}}\) ,
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3} \pi +2k \pi \vee x=- \frac{2}{3} \pi +2k \pi}\)

Z tym, że \(\displaystyle{ -\frac{2}{3} \pi}\) nie należy bo \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\)

Więc odpowiedzią będzie tylko \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi}\) bo co bym za \(\displaystyle{ k}\) nie podstawiła to nie mieści sie w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi\right\rangle}\)

[loitzl9006]

Teraz zgoda. Wszystko jest OK.