Funkcje sin i cos: suma, róznica, moduł

[agggnes]

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu: wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}}\), oblicz \(\displaystyle{ \left|\sin x - \cos x \right|}\).

[Chromosom]

Najpierw proponuję podzielić lewe strony obu wyrażeń przez \(\displaystyle{ \sqrt{\sin^2x+\cos^2x}}\). Na tej podstawie można obliczyć wartość \(\displaystyle{ \tg x}\) z pierwszego wyrażenia, i podstawić do drugiego.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\left( \sin x+\cos x\right)^2=\frac{1}{2}\\
\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=\frac{1}{2}\\
1+2\sin x\cos x=\frac{1}{2}\\
2\sin x\cos x=-\frac{1}{2}\\
-2\sin x\cos x=\frac{1}{2}\\
\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=\frac{1}{2}+1\\
\left( \sin x-\cos x\right)^2=\frac{3}{2}\\
\left|\sin x-\cos x \right| =\sqrt{\frac{3}{2}}}\)

[Chromosom]

Powyższa metoda nawet jest lepsza, niż moja. Nie wymaga dodatkowych działań związanych z kątami o ujemnych wartościach funkcji trygonometrycznych.