wykaż że tożsamość jest prawdziwa

[fnt]

Wykaz, ze prawdziwa jest tozsamosc:

\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2} 3x}{\sin ^{2} x} + 8 \sin ^{2} x = \frac{\cos ^{2} 3x}{\cos ^{2} x} + 8\cos ^{2} x}\)

[piasek101]

Popraw literówkę na końcu [edit] już poprawiona..

Pozamieniaj np na lewej sinusy do kwadratu na odpowiednie wyrażenia z kosinusami i ...

[fnt]

wychodzi mi tak:
\(\displaystyle{ \frac{\cos ^{2}x - \cos ^{2}3x }{(1-\cos ^{2}x)\cos ^{2} x } =8(2\cos ^{2}x-1)}\)

i dalej coś nie idzie

[major37]

Licznik mi coś nie gra \(\displaystyle{ \cos ^{2}x- \cos ^{2} x \cdot \cos ^{2}3x}\)

[fnt]

sprowadzam do wspólnego mianownika i po przeniesieniu na jedną stronę mam w liczniku:
\(\displaystyle{ (1-\cos ^{2} 3x)\cos ^{2} x- \cos ^{2} 3x(1- \cos ^{2} x)}\)
co po wymnożeniu daje
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x- \cos ^{2} 3x}\)

no chyba że czegoś nie widzę

[major37]

No dobrze masz bo ja nie dokończyłem To dalej to trzeba poczekać na piaska bo ja nie wiem. Może spróbuj rozpisać kosinusa tego potrójnego argumentu. Może coś wyjdzie

[Tmkk]

Ja proponuję przerzucić wszystko na jedną stronę i sprowadzić do wspólnego mianownika, ale tylko te 2 ułamki. 5 linijek przekształceń i wychodzi \(\displaystyle{ 0=0}\).

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x}+8 \sin^2 x= (*)}\)
Weźmy na razie \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x}=(4 \cos^2 x -1)^2=(4 \cos^2 x -3)^2+ 16 \cos^2 x - 8}\)
Zatem \(\displaystyle{ (*)=(4 \cos^2 x -3)^2+ 16 \cos^2 x - 8+8(1- \cos^2 x)=(4 \cos^2 x -3)^2+8 \cos^2 x}\)
Teraz mnożymy \(\displaystyle{ (4 \cos^2 x -3)^2}\) przez \(\displaystyle{ \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}}\) (możemy, bo to nie zmieni naszego wyniku, mnożenie przez jedynkę), także mamy: \(\displaystyle{ \frac{(4 \cos^3 x -3 \cos x )^2}{\cos^2 x} +8 \cos^2 x= \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 x}+ 8 \cos^2 x}\)

[major37]

Fajne rozwiązanie Kamila

[fnt]

\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x}+8 \sin^2 x= (*)}\)
Weźmy na razie \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x}=(4 \cos^2 x -1)^2=(4 \cos^2 x -3)^2+ 16 \cos^2 x - 8}\)
Zatem \(\displaystyle{ (*)=(4 \cos^2 x -3)^2+ 16 \cos^2 x - 8+8(1- \cos^2 x)=(4 \cos^2 x -3)^2+8 \cos^2 x}\)
Teraz mnożymy \(\displaystyle{ (4 \cos^2 x -3)^2}\) przez \(\displaystyle{ \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}}\) (możemy, bo to nie zmieni naszego wyniku, mnożenie przez jedynkę), także mamy: \(\displaystyle{ \frac{(4 \cos^3 x -3 \cos x )^2}{\cos^2 x}= \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 x}}\)

z czego ta równość wynika???
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x}=(4 \cos^2 x -1)^2}\)

oraz ta:
\(\displaystyle{ {(4 \cos^3 x -3 \cos x )^2}={\cos^2 3x}}\)

[kamil13151]

Rozpisujesz \(\displaystyle{ \sin 3 x = \sin (2x+x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x}\)

Zatem: \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x}= \frac{\left( 3 \sin x - 4 \sin^3 x\right)^2 }{\sin^2 x} =(3-4 \sin^2 x)^2=(4 \cos^2 x -1)^2}\)

Druga analogicznie, rozpisanie kosinusa potrojonego kąta.