Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonomet.

[marcinn95]

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\ctg \alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha } = \frac{1}{\cos \alpha } + \frac{1}{\sin ^{2} \alpha }}\)

Dopiero zaczynam z trygonometrią, jakby się ktoś znalazł jeszcze dzis kto mógłby pomoc, byłbym wdzięczny. Mam nadziej że dobry dział. Dzieki!

[ares41]

Rozbij wyrażenie z lewej na dwa ułamki. Następnie wyraź cotangensa przez cosinusa i sinusa.

[marcinn95]

Wyszło, dzieki :d Jeszcze tylko z jednym mam kłopot.

\(\displaystyle{ \frac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha } = \frac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}\)

Jak można prosić o wskazówkę jakąś.

[Jan Kraszewski]

Wymnóż "na krzyż".

JK

[Reshiram]

Potem zauważ że \(\displaystyle{ 1- \sin^{2} x = \cos^{2} x}\)

[dsokal]

Wydaje mi się, że "na krzyż" to nie jest całkiem poprawna metoda rozwiązywania tego typu problemów, ja bym zrobił to tak:
\(\displaystyle{ P = \frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} \cdot \frac{1+\sin\alpha}{1+\sin \alpha } = \frac{\cos\alpha + \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{ 1-\sin ^{2}\alpha } = \frac{\cos\alpha + \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha} = \frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} = L}\)
I teraz przez operacje odwrotne możemy pokazać, że w drugą stronę też działa. I dopiero stąd wnioskujemy, że jest to tożsamość.

[Jan Kraszewski]

Twoja metoda jest oczywiście elegancka, ale "na krzyż" jest całkiem poprawną metodą. Zauważ, że wymnożenie "na krzyż" oznacza tak naprawdę, że obie strony równania mnożymy przez iloczyn mianowników. Ponieważ jest to liczba różna od zera, więc jest to przejście równoważne.

JK

PS. Zupełnie nie rozumiem komentarza

I teraz przez operacje odwrotne możemy pokazać, że w drugą stronę też działa. I dopiero stąd wnioskujemy, że jest to tożsamość.

[dsokal]

PS. Zupełnie nie rozumiem komentarza

I teraz przez operacje odwrotne możemy pokazać, że w drugą stronę też działa. I dopiero stąd wnioskujemy, że jest to tożsamość.

Tak długo jak wiem to żeby udowodnić równoważność, trzeba udowodnić dwie implikacje.

[ares41]

Nie mamy tutaj do udowodnienia równoważności i nie ma tutaj implikacji.

Poprawność rozumowania od razu wynika z symetryczności relacji równości.

[marcinn95]

Dzięki za zainteresowanie

[Reshiram]

To jest krotsze i prostsze:

\(\displaystyle{ \frac{1+\sin x }{\cos x } = \frac{\cos x }{1-\sin x } \iff \left( 1 + \sin x\right) \cdot \left( 1 - \sin x \right) = \cos^{2} x \iff 1 - \sin^{2} x = \cos^{2} x \iff \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1}\)

[ares41]

Reshiram, już pierwsze przejście nie jest poprawne. Zapisana równoważność nie zachodzi. Weźmy np. \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}}\) , wtedy równość z prawej strony równoważności zachodzi, ale lewa strona nie jest określona - dzielenie przez zero !
Należy uwzględnić dziedzinę.