Udowodnij, że:
cos(?/5)*cos(2?/5)=1/4
Dzięki
Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów
Pisz wątki w odpowiednich działach, zapoznaj się z regulaminem.
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów
Moze zbyt zakrecone, ale wykazalam to tak:
Jest sobie wzor na iloczyn cosinusow:
cos(A)*cos(B) = (1/2)*(cos(A-B) - cos(A+B))
Niech A = ∏/5 oraz B = 2∏/5
stosuje ten wzor, co powyzej
cos(∏/5)*cos(2∏/5) = (1/2)*(cos(∏/5) - cos(3∏/5))
ponadto cos(3∏/5) = - cos(2∏/5) oraz cos(2∏/5) = 2cos2(∏/5) - 1
wiec mam rownosc:
cos(∏/5)*cos(2∏/5) = (1/2)*(cos(∏/5) + cos(2∏/5))
2cos(∏/5)*(2cos2(∏/5) - 1) = cos(∏/5) + 2cos2(∏/5) - 1
za duzo pisania z tymi cos(∏/5), niech x = cos(∏/5)
4x3 - 2x = x + 2x2 - 1
czyli mam rownanie 3stopnia:
4x3 - 2x2 - 3x + 1 = 0
o trzech pierwiastkach:
x1 = 1, x2 = , x3 =
dwa pierwsze nie moga byc wartoscia naszego cosinusa, wiec pozostaje, ze cos(∏/5) = x3
rachunkowo sprawdzilam, ze iloczyn
x3(x32 - 1) = 1/4
strasznie mi to naokolo wyszlo, ale wyszlo
Jest sobie wzor na iloczyn cosinusow:
cos(A)*cos(B) = (1/2)*(cos(A-B) - cos(A+B))
Niech A = ∏/5 oraz B = 2∏/5
stosuje ten wzor, co powyzej
cos(∏/5)*cos(2∏/5) = (1/2)*(cos(∏/5) - cos(3∏/5))
ponadto cos(3∏/5) = - cos(2∏/5) oraz cos(2∏/5) = 2cos2(∏/5) - 1
wiec mam rownosc:
cos(∏/5)*cos(2∏/5) = (1/2)*(cos(∏/5) + cos(2∏/5))
2cos(∏/5)*(2cos2(∏/5) - 1) = cos(∏/5) + 2cos2(∏/5) - 1
za duzo pisania z tymi cos(∏/5), niech x = cos(∏/5)
4x3 - 2x = x + 2x2 - 1
czyli mam rownanie 3stopnia:
4x3 - 2x2 - 3x + 1 = 0
o trzech pierwiastkach:
x1 = 1, x2 = , x3 =
dwa pierwsze nie moga byc wartoscia naszego cosinusa, wiec pozostaje, ze cos(∏/5) = x3
rachunkowo sprawdzilam, ze iloczyn
x3(x32 - 1) = 1/4
strasznie mi to naokolo wyszlo, ale wyszlo
Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów
dziękuje i pozdrawiam
[ Dodano: Sro Gru 15, 2004 10:10 pm ]
Wykombinowałem jeszcze inny sposób, może kogoś zainteresuje więc napiszę:
mamy wzory:
1. sin(2x)=2sin(x)*cos(x)
2. sin(∏-x)=sin(x)
mnożę lewą stronę przez [2sin(∏/5)]/[2sin(∏/5)]
L= [2sin(∏/5)*cos(∏/5)*cos(2∏/5)]/[2sin(∏/5)]
korzystam ze wzoru 1.
L= [sin(2∏/5)*cos(2∏/5)]/[2sin(∏/5)]
mnożę obie strony przez 2
L= [2sin(2∏/5)*cos(2∏/5)]/[4sin(∏/5)]
korzystam ze wzoru 1.
L= [sin(4∏/5)]/[4sin(∏/5)]
korzystam ze wzoru 2.
L= [sin(4∏/5)]/[4sin(∏-∏/5)]
L= [sin(4∏/5)]/[4sin(4∏/5)]
L=1/4
L=P
[ Dodano: Sro Gru 15, 2004 10:10 pm ]
Wykombinowałem jeszcze inny sposób, może kogoś zainteresuje więc napiszę:
mamy wzory:
1. sin(2x)=2sin(x)*cos(x)
2. sin(∏-x)=sin(x)
mnożę lewą stronę przez [2sin(∏/5)]/[2sin(∏/5)]
L= [2sin(∏/5)*cos(∏/5)*cos(2∏/5)]/[2sin(∏/5)]
korzystam ze wzoru 1.
L= [sin(2∏/5)*cos(2∏/5)]/[2sin(∏/5)]
mnożę obie strony przez 2
L= [2sin(2∏/5)*cos(2∏/5)]/[4sin(∏/5)]
korzystam ze wzoru 1.
L= [sin(4∏/5)]/[4sin(∏/5)]
korzystam ze wzoru 2.
L= [sin(4∏/5)]/[4sin(∏-∏/5)]
L= [sin(4∏/5)]/[4sin(4∏/5)]
L=1/4
L=P