Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Yrek

Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów

Post autor: Yrek »

Udowodnij, że:

cos(?/5)*cos(2?/5)=1/4


Dzięki
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów

Post autor: Tomasz Rużycki »

Pisz wątki w odpowiednich działach, zapoznaj się z regulaminem.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Yrek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 13 gru 2004, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów

Post autor: Yrek »

To jak?? Nikt nie rozwiąże
Yavien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 800
Rejestracja: 21 cze 2004, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-U

Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów

Post autor: Yavien »

Moze zbyt zakrecone, ale wykazalam to tak:
Jest sobie wzor na iloczyn cosinusow:
cos(A)*cos(B) = (1/2)*(cos(A-B) - cos(A+B))
Niech A = ∏/5 oraz B = 2∏/5
stosuje ten wzor, co powyzej
cos(∏/5)*cos(2∏/5) = (1/2)*(cos(∏/5) - cos(3∏/5))
ponadto cos(3∏/5) = - cos(2∏/5) oraz cos(2∏/5) = 2cos2(∏/5) - 1
wiec mam rownosc:
cos(∏/5)*cos(2∏/5) = (1/2)*(cos(∏/5) + cos(2∏/5))
2cos(∏/5)*(2cos2(∏/5) - 1) = cos(∏/5) + 2cos2(∏/5) - 1
za duzo pisania z tymi cos(∏/5), niech x = cos(∏/5)
4x3 - 2x = x + 2x2 - 1
czyli mam rownanie 3stopnia:
4x3 - 2x2 - 3x + 1 = 0
o trzech pierwiastkach:
x1 = 1, x2 = , x3 =
dwa pierwsze nie moga byc wartoscia naszego cosinusa, wiec pozostaje, ze cos(∏/5) = x3
rachunkowo sprawdzilam, ze iloczyn
x3(x32 - 1) = 1/4
strasznie mi to naokolo wyszlo, ale wyszlo
Yrek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 13 gru 2004, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Udowodnij, że ... - iloczyn cosinusów

Post autor: Yrek »

dziękuje i pozdrawiam

[ Dodano: Sro Gru 15, 2004 10:10 pm ]
Wykombinowałem jeszcze inny sposób, może kogoś zainteresuje więc napiszę:

mamy wzory:
1. sin(2x)=2sin(x)*cos(x)
2. sin(∏-x)=sin(x)

mnożę lewą stronę przez [2sin(∏/5)]/[2sin(∏/5)]

L= [2sin(∏/5)*cos(∏/5)*cos(2∏/5)]/[2sin(∏/5)]

korzystam ze wzoru 1.

L= [sin(2∏/5)*cos(2∏/5)]/[2sin(∏/5)]

mnożę obie strony przez 2

L= [2sin(2∏/5)*cos(2∏/5)]/[4sin(∏/5)]

korzystam ze wzoru 1.

L= [sin(4∏/5)]/[4sin(∏/5)]

korzystam ze wzoru 2.

L= [sin(4∏/5)]/[4sin(∏-∏/5)]
L= [sin(4∏/5)]/[4sin(4∏/5)]
L=1/4
L=P
ODPOWIEDZ