problemowe równania, opisywanie funkcji

[Nowhere]

Witam Przygotowując się do klasówki spotkałam kilka zadań, których rozwiązanie nastręcza mi mały kłopot, tak więc zwracam się o pomoc.
po 1, czy można wyznaczyć zbiór wartości funkcji takiej jak np
\(\displaystyle{ y=4-5\cos^2 \alpha}\)
bez rysowania wykresu w układzie współrzędnych, jest na to jakiś wzór?
po 2, jeżeli jest dana np funkcja
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \ x \ dla\ x \ge 0\\ -x \ dla\ x\ <0\end{cases}}\)
jak opisać jej monotoniczność i okresowość?

i ostatnia sprawa - to kilka równań i tożsamości, które mam uzasadnić, głowię się już jakiś czas ale " nie mam na nie pomysłu" :
\(\displaystyle{ \ctg(45^\circ+ \alpha )=\tg(45^\circ + \alpha )\\
\sin 1 > \sin 1^\circ \\
\cos 0.5 < \cos 0.5^\circ \\
\ctg x + \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{1}{\sin x}}\)
Trochę tego jest, ale byłabym niezmiernie wdzięczna za jakąkolwiek pomoc choćby i na jedno z tych problemów

[lukasz1804]

1. Zamień wzór funkcji na równoważny, korzystając ze wzoru na kosinus podwojonego kąta - zdecydowanie prościej jest badać te z funkcji trygonometrycznych, które we wzorze nie mają potęg.

2. Tu proponuję naszkicować wykres i zauważyć, że funkcja nie ma ani jednej z dwóch badanych własności.

Co do równania, skorzystaj z tożsamości \(\displaystyle{ \cot\beta=\frac{\cos\beta}{\sin\beta}, \tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}\), a następnie z metody proporcji. Na koniec można jeszcze skorzystać ze wzoru na kosinus podwojonego kąta.

W przypadku nierówności porównaj argumenty funkcji występujące po każdej ze stron, a następnie skorzystaj z monotoniczności odpowiedniej funkcji trygonometrycznej na przedziale \(\displaystyle{ (0^\circ, 90^\circ)}\).

W tożsamości przekształć lewą stronę, najpierw ze wzoru \(\displaystyle{ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}}\) i sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika. Po tych operacjach dodaj ułamki. Powinno udać się wówczas skrócić otrzymany ułamek.

[Nowhere]

Dziękuję bardzo za odpowiedź, częściowo mi się rozjaśniło w głowie ale też wciąż mam kilka wątpliwości:

1. Zamień wzór funkcji na równoważny, korzystając ze wzoru na kosinus podwojonego kąta - zdecydowanie prościej jest badać te z funkcji trygonometrycznych, które we wzorze nie mają potęg.

hmm, a co w np łatwiejszym przypadku-
np. \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-5}{\cos \alpha }}\) , da się jakoś wypracować uniwersalną metodę rozwiązywania tego typu zadań?

Co do równania, skorzystaj z tożsamości \(\displaystyle{ \cot\beta=\frac{\cos\beta}{\sin\beta}, \tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}\), a następnie z metody proporcji. Na koniec można jeszcze skorzystać ze wzoru na kosinus podwojonego kąta.

otrzymuję wtedy wynik: \(\displaystyle{ \cos ^{2} = 1-\cos ^{2}}\), jak dalej to przekształcić?

W tożsamości przekształć lewą stronę, najpierw ze wzoru \(\displaystyle{ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}}\) i sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika. Po tych operacjach dodaj ułamki. Powinno udać się wówczas skrócić otrzymany ułamek.

właśnie tak robiłam i nie wychodzi