Znaleźć zbiór wszystkich \(\displaystyle{ x \in(0 ; 2\pi)}\) spełniających nierówność:
\(\displaystyle{ 4 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos x \cdot \sin \frac{3x}{2}>\sin 2x}\)
Nierówność trygonometryczna
-
Dunix
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 15:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ropczyce
- Podziękował: 3 razy
Nierówność trygonometryczna
Ostatnio zmieniony 17 mar 2012, o 11:14 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Nierówność trygonometryczna
Nie wiem, czy to będzie najlepsza postać pod kątem znalezienia rozwiązań. Być może da się ładniej.
Korzystając ze wzoru na różnicę kosinusów mamy:
\(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\sin\frac{2x-x}{2}\sin\frac{2x+x}{2}=\frac{\cos x-\cos 2x}{2}}\)
Uwzględniając to w nierówności otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2\cos x\left(\cos x-\cos 2x\right)-2\sin x\cos x=\\ 2\cos x\left(\cos x-\sin x+\sin^2x-\cos^2x\right)=\\ 2\cos x(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x-1)=\\ 4\cos x\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cdot\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)>0}\)
Korzystając ze wzoru na różnicę kosinusów mamy:
\(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\sin\frac{2x-x}{2}\sin\frac{2x+x}{2}=\frac{\cos x-\cos 2x}{2}}\)
Uwzględniając to w nierówności otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2\cos x\left(\cos x-\cos 2x\right)-2\sin x\cos x=\\ 2\cos x\left(\cos x-\sin x+\sin^2x-\cos^2x\right)=\\ 2\cos x(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x-1)=\\ 4\cos x\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cdot\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)>0}\)