równania trygonometryczne, dość trudne

[przemekx16]

mam dwa zadanka których nie potrafię zrobić, pierwsze podobno proste ale nie mogę pomysłu znaleźć, ale drugie to mnie rozwala na łopatki po 1h rozkładania do niczego nie doszedłem

\(\displaystyle{ 4\sin^{2}x+\sin^{2}2x=3}\)

\(\displaystyle{ \sin^{3}x+\cos^{3}x=1}\)

do tego drugiego niech ktoś mi nie mówi że się nie da go zrobić, bo dostałem na kartkówce (tylko ja pisałem w tym terminie, pytając się "mistrza" z mojej klasy rozwiązał mi to graficznie(nie braliśmy takiego czegoś, jak mówię to jest mistrz), nikt inny tego nie potrafił, ale uważam, że musi być jakiś prostszy sposób inaczej by mi go nie dała, chyba że mnie nie lubi i nie chce dać mi lepszej oceny :/ )

[kamil13151]

1) Wzorek \(\displaystyle{ \sin 2x = 2 \sin x \cos x}\).
2) Wzorek skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\).

Pamiętaj o jedynce trygonometrycznej.

[przemekx16]

jakby to było takie proste to bym zrobił, wpierw całe rozwiąż,a potem zapodawaj pomysły

[kamil13151]

jakby to było takie proste to bym zrobił, wpierw całe rozwiąż,a potem zapodawaj pomysły

Powinienem Cię krótko mówiąc olać za taką odpowiedź, ale że drugie jednak nie da się raczej rozwiązać przy pomocy tego co podałem to podam inną możliwość.

1) To co podałem, jedynka trygonometryczna, zmienna pomocnicza.

2) Łatwo widać, że \(\displaystyle{ \sin x \wedge \cos x \in \left[ 0, 1 \right]}\) (prosty dowód).

Mamy \(\displaystyle{ \sin^{3}x+\cos^{3}x=1}\), teraz zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ t= \sin x}\) co nam daje równanie: \(\displaystyle{ t^3+(1-t^2) \sqrt{1-t^2} =1}\), co po rozwiązaniu mamy \(\displaystyle{ \sin x = 0 \vee \sin x =1}\).

Trochę szacunku...

[przemekx16]

przepraszam, ale denerwuje mnie ze dostaje baty za nie wiem co, a moja reakcja bo czasem pojawi sie cwaniaczek na forum i mysli ze rzuci schematem i wszystko idzie, dzieki za zainteresowanie i rozwiazanie, lecz nie wiem dlaczego sin i cos od 0;1 a nie od -1;1

[Jan Kraszewski]

Jeżeli prosisz o pomoc, to wypadałoby być grzecznym, a nie obrażać osobę, która poświęca trochę czasu, by Ci pomóc. Jeżeli nie rozumiesz rozwiązania, to dalej się dopytuj. To forum to nie zakład usługowy, gdzie płacisz i wymagasz (choć i tam wypada być grzecznym).

JK

[kamil13151]

lecz nie wiem dlaczego sin i cos od 0;1 a nie od -1;1

Widać bardzo dokładnie ze zbioru wartości tych funkcji, ale żeby nie być gołosłownym:
\(\displaystyle{ \sin^{3}x+\cos^{3}x=1 \\ \sin^{3}x=1-\cos^{3}x=(1- \cos x)(1+\cos^2 x + \cos x)}\)
Po prawej stronie mamy iloczyn dwóch liczb nieujemnych, identycznie dla \(\displaystyle{ \cos x}\).

[przemekx16]

ok dziękuje, i jeszcze raz bardzo przepraszam za moje zachowanie, i obiecuję panie moderatorze, że już nigdy nie będę nie miły dla pomagających

a swoją drogą jak rozwiązałeś to równanie, bo mi troszeczkę inaczej wychodzi

[kamil13151]

\(\displaystyle{ t^3+(1-t^2) \sqrt{1-t^2} =1 \\ (1-t^2) \sqrt{1-t^2} =1-t^3 \\ (1-t^2)^3=(1-t^3)^2 \\ (1-t)^3(1+t)^3=(1-t)^2(1+t+t^2)^2 \\ (1-t)^2\left[ (1-t)(1+t)^3-(1+t+t^2)^2 \right]=0}\)
Dalej łatwo, wymnożyć w kwadratowym nawiasie, ładnie się wyciąga przed nawias i zostaje równanie kwadratowe bez pierwiastków w \(\displaystyle{ R}\).

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ \sin^{3}x+\cos^{3}x=1}\)

Niech \(\displaystyle{ \sin x=a,\ \cos x=b}\), wtedy mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2+b^2=1\\a^3+b^3=1\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}(a+b)^2-2ab=1\\(a+b)^3-3(a+b)ab=1\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}t^2-2u=1\\t^3-3tu=1\end{cases}}\),

gdzie \(\displaystyle{ a+b=t,\ ab=u}\). Podstawiając w drugim z pierwszego \(\displaystyle{ u=\frac{t^2-1}{2}}\) i przekształcając mamy \(\displaystyle{ (t-1)^2(t+2)=0}\).
Po odrzuceniu z oczywistych przyczn \(\displaystyle{ t=-2}\) dostajemy

\(\displaystyle{ \begin{cases}t=a+b=1\\u=ab=0\end{cases}}\)

Dalej to już nie jest jakoś bardzo trudno...