Sprawdź, czy funkcje f i g są równe

[Cudi29]

Sprawdź, czy funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są równe.

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+\cos 2x}{\sin ^{2}x }}\)

\(\displaystyle{ g(x)= \frac{2}{\tg ^{2}x }}\)

Z tego co się dowiedziałam na lekcji w szkole, to żeby te dwie funkcje były równe to muszą mieć taką samą dziedzinę. No i tu zaczynają się schody. Poniżej napisałam wszystkie moje obliczenia po kolei i wychodzi z nich, że jeśli liczę po dziedzinie to te funkcje nie są równe, jednak gdy liczę "na piechotę" to są równe. Jak powinno być poprawnie?

\(\displaystyle{ Df: x \in R \setminus \left\{ k \pi :k \in C\right\}}\)
\(\displaystyle{ Dg: x \in R \setminus \left\{ \frac{ \pi }{2}+k \pi ; k \pi : k \in C \right\}}\)

\(\displaystyle{ L= \frac{1+\cos 2x}{\sin ^{2}x }= \frac{1+\cos ^{2}x-\sin ^{2}x }{\sin ^{2} x} = \frac{2\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} =2\ctg ^{2} x= \frac{2}{\tg ^{2} x}=P}\)

[szw1710]

No więc dobrym tropem podążasz, dziedziny nie są równe, więc i funkcje nie są równe. Mniejsza jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ g}\). Dokładnie \(\displaystyle{ D_g\subset D_f}\). Więc obie funkcje są równe po ograniczeniu się do zbioru \(\displaystyle{ D_g:}\)

\(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in D_g}\quad f(x)=g(x)}\)