Naszkicuj funkcję z pierwiastkiem

[gawli]

zad.
Naszkicuj wykres funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{1-\cos ^2 \left( x+\frac{\pi}{2} \right) }}\)
dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle -\pi;\pi \right\rangle}\). Z wykresu odczytaj , dla których argumentów funkcja f przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) .

[manduka]

\(\displaystyle{ 1-\cos ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) =\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}}= |a|}\)

[gawli]

wyszło mi coś takiego , proszę znaleźć błąd w rozumowaniu
złożenia: (trzeba to robić ?)
\(\displaystyle{ 1-\cos^{2} \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \ge 0 \\
\left( 1-\cos \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \right) \left( 1-\cos \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \right) \ge 0 \\ \\ \text{I }\\
\cos \left( x+\frac{\pi}{2} \right) =1 \\
x+\frac{\pi}{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos}\) przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ 0}\)

\(\displaystyle{ x_{0} =- \frac{ \pi }{2}\\
x_{1} =- \frac{ \pi }{2} + 2k \pi\\
x_{2} = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \\ \text{II}\\
\cos \left( x+\frac{\pi}{2} \right) =-1\\
x+\frac{\pi}{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ cos}\) przyjmuje \(\displaystyle{ \pi}\) w \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ x= \pi - \frac{ \pi }{2} \\
x_{0} = \frac{ \pi }{2} \\
x _{0} =- \frac{ \pi }{2}}\)

więc rozwiązania z przedziału \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2},- \pi ,- \frac{ 3\pi }{2}, \frac{ \pi }{2}, \frac{ 3\pi }{2}}\)
teraz właściwe rozwiązywanie \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) }}\)


\(\displaystyle{ \left|\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right|}\)

\(\displaystyle{ \sin}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ 0}\) więc

\(\displaystyle{ x+ \frac{ \pi }{2} =0\\
x+ =-\frac{ \pi }{2}\\
x=-1}\)

[Jan Kraszewski]

wyszło mi coś takiego , proszę znaleźć błąd w rozumowaniu
złożenia: (trzeba to robić ?)

Akurat w tym przypadku nie trzeba, w dodatku nie jestem w stanie ogarnąć Twoich rachunków, nie rozumiem też konkluzji:

więc rozwiązania z przedziału \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2},- \pi ,- \frac{ 3\pi }{2}, \frac{ \pi }{2}, \frac{ 3\pi }{2}}\)

teraz właściwe rozwiązywanie \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) }}\)

\(\displaystyle{ \left|\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right|}\)

A skąd Ty to wytrzasnąłeś?

JK

[gawli]

Dlaczego nie trzeba rozpatrywać założeń ? Wynika to z podanego w zadaniu przedziału ?

\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2},- \pi ,- \frac{ 3\pi }{2}, \frac{ \pi }{2}, \frac{ 3\pi }{2}}\)

Ponieważ w cosinusie z \(\displaystyle{ x _{0} =- \frac{ \pi }{2}}\) rozpatruje się więcej punktów dodając\(\displaystyle{ k \pi}\)tak aby zmieściło się w przedziale z zadania

\(\displaystyle{ \left|\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right|}\)

jest równe zero zgodnie z założeniem podanym przez użytkownika manduka

[Jan Kraszewski]

Dlaczego nie trzeba rozpatrywać założeń ?

Bo korzystając z jedynki trygonometrycznej szybko stwierdzasz, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne.

Ponieważ w cosinusie z \(\displaystyle{ x _{0} =- \frac{ \pi }{2}}\) rozpatruje się więcej punktów dodając\(\displaystyle{ k \pi}\)tak aby zmieściło się w przedziale z zadania

Dalej nie rozumiem, co masz na myśli. Najpierw napisałeś nierówność, a potem wykonałeś sporo niezrozumiałych dla mnie czynności.

\(\displaystyle{ \left|\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right|}\)

jest równe zero zgodnie z założeniem podanym przez użytkownika manduka

Po pierwsze, miałeś chyba narysować wykres funkcji.
Pod drugie,

\(\displaystyle{ \sqrt{\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) }=\left|\sin \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right|}\)

JK

[gawli]

\(\displaystyle{ \sqrt{\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) } \ge 0\\
\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right)}\)
jest zawsze większe bądź równe \(\displaystyle{ 0}\)
Ale co dalej ?

[Johncoltrane]

\(\displaystyle{ \left|\sin \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) \right|}\)

Narysuj wykres tej funkcji.

[gawli]

czy wykres ma wyglądać następująco ?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[gawli]

całe zadanie w takim razie \(\displaystyle{ \sqrt{\sin ^{2} \left( x+ \frac{ \pi }{2} )\right}}\)


wyniki funkcji trygonometrycznej sinus podniesione do kwadratu osiągają zawsze wartości większe bądź równe zero

następnie\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{1-\cos ^2 \left( x+\frac{\pi}{2} \right) }

\Rightarrow \left| \sin \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right)\right|}\)

rysunek funkcji

[Jan Kraszewski]

wyniki funkcji trygonometrycznej sinus podniesione do kwadratu osiągają zawsze wartości większe bądź równe zero

To jest dość dziwne zdanie (językowo). Stwierdź raczej, że wartości tej funkcji są nieujemne.

W zadaniu miałeś jeszcze jedno polecenie.

JK

[gawli]

\(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje \(\displaystyle{ \frac12}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left\{- \frac{2 \pi }{3},- \frac{ \pi }{3}, \frac{ \pi }{3} , \frac{2 \pi }{3} \right\}}\)

[Jan Kraszewski]

I to by było na tyle.

JK

[gawli]

bardzo dziękuję , można zamknąć