Rozwiąż równanie

[jbeb]

\(\displaystyle{ \ctg x- \cos x=1- \sin x}\)
Moja odpowiedź \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k \pi}\). W książce jest jeszcze dodatkowo \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\) i nie wiem skąd oni to wzięli...

[bartek118]

Pokaż swoje rozwiązanie, wskażemy ewentualny błąd

[jbeb]

Nie możesz po prostu rozwiązać i porównać...

[bartek118]

W książce jest ok

[jbeb]

Na końcu dochodzę do \(\displaystyle{ \sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right) =0}\), więc skąd tu \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)

[bartek118]

Pokaż całe rozwiązanie

[jbeb]

\(\displaystyle{ \ctg x - \cos x = 1 - \sin x}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin x}- \cos x=1- \sin x \\
\frac{\cos x - \cos x \sin x}{\sin x}= 1- \sin x \\
\cos x - \cos x \sin x = \sin x - \sin^{2} x \\
\cos x \left( 1- \sin x \right) = \sin x \left( 1- \sin x \right) \\
\cos x = \sin x \\
\cos x - \cos \left( \frac{ \pi }{2} - x \right) = 0 \\
-2 \sin \frac{ \pi }{4}\sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right) =0 \\
\sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right) =0}\)
Dalej tak jak pisałam... gdzie błąd?

[bartek118]

A co z tymi punktami, w których \(\displaystyle{ \sin x = 1}\)? Bo wtedy dzielisz przez zero w jednym miejscu.

[jbeb]

\(\displaystyle{ \sin x = 1}\)? nie mam nic takiego... dalej robię tak, że za to co w nawiasie podstawiam "t" i mam \(\displaystyle{ \sin t=0}\) i to jest dla \(\displaystyle{ k \pi}\) i teraz \(\displaystyle{ k \pi =x- \frac{ \pi }{4}}\)...

[Tmkk]

Masz. Chodzi o ten moment:

\(\displaystyle{ \cos x \left( 1- \sin x \right) = \sin x \left( 1- \sin x \right)}\)

gdzie dzielisz sobie przez \(\displaystyle{ (1- \sin x)}\). Dla \(\displaystyle{ \sin x = 1}\) dzielisz przez \(\displaystyle{ 0}\), a tak nie można.

[jbeb]

To co powinnam zrobić? Mogłabym sobie założyć przy tym że \(\displaystyle{ \sin x \neq 1}\) ale w tedy mi źle wyjdzie odpowiedź, więc pewnie tak nie mogę...

[Tmkk]

Przerzuć na jedną stronę i wyłącz przed nawias.

[jbeb]

dobra, dzięki już rozwiązałam