Rozwiąż równanie trygonometryczne

[Union]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{|x|}{x}}\)
\(\displaystyle{ x \neq 0}\) więc dla \(\displaystyle{ x>0 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in C_{+}}\)
dla \(\displaystyle{ x < 0 \Rightarrow \sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in C_{-}}\)
Teraz moje pytanie w odpowiedział jest uwzględnione jeszcze 0 ( w pierwszym i drugim przypadku ) ale przecież zero nie należy do dziedziny, chyba ? x jest w mianowniku.

2.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \frac{1-\cos8x}{1+\tg x}=0}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos8x = 0 \Rightarrow \cos8x = 1 \Rightarrow 8x=2 \pi k \Rightarrow x= \frac{ \pi k}{4}}\)
Wiem też że \(\displaystyle{ \tg x \neq -1 \Rightarrow x \neq -\frac{ \pi k}{4} + k \pi}\)
Ale znowu odpowiedzi są inne.. Znalazłem parę tematów z tym zadaniem ale nie znalazłem rozwiązania końcówki. Jakby ktoś mógł napisać co robię źle.

Z góry dzięki ;D

[leapi]

bład

[Union]

ale dalej nie rozumiem :/

[leapi]

\(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{4}}\) mamy \(\displaystyle{ x\in \left \{\pm \frac{1}{4}\pi, \pm \frac{2}{4}\pi, \pm \frac{3}{4}\pi, \pm \frac{4}{4}\pi, \pm \frac{5}{4}\pi,... \right\}}\)

oraz

\(\displaystyle{ x\ne \left\{... - \frac{1}{4}\pi\right, \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi, ...\}}\)

czyli

\(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{4}\pi+k\pi}\)

\(\displaystyle{ x_2=\frac{2}{4}\pi+k\pi}\)

\(\displaystyle{ x_3=\frac{4}{4}\pi+k\pi}\)

tak jest podane w odpowiedzi?-- 9 mar 2012, o 20:04 --jeśli chodzi o 1. To wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{|x|}{x}}\) jest nieokreślone w \(\displaystyle{ x=0}\)

[Union]

Odpowiedzi są takie :
\(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{2}}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

[leapi]

to samo

-- 9 mar 2012, o 20:35 --

\(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{4}\pi+k\pi}\)

\(\displaystyle{ x_2=\frac{2}{4}\pi+k\pi=\frac{1}{2}\pi+k\pi}\)

\(\displaystyle{ x_3=frac{4}{4}pi+kpi=pi+kpi[}\)

\(\displaystyle{ \frac{\ki p}{2}=}\)

albo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\pi, 1\frac{1}{2}\pi,2 \frac{1}{2}\pi, ... \ k}\)dla nie parzystego

albo \(\displaystyle{ \pi, 2\pi ,3\pi ...\ k}\)dla nie nieparzystego

to połaczenie \(\displaystyle{ x_2 ; x_3}\) w jedną odpowiedz

[Union]

Umiał by to ktoś wytłumaczyć jakoś prościej :/ ?

[Jan Kraszewski]

Odpowiedzi są takie :
\(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{2}}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

Odpowiedzi nie są poprawne.

Wiesz, że rozwiązania równania \(\displaystyle{ \cos 8x=1}\) są postaci \(\displaystyle{ \frac{k\pi}{4}}\), czyli są całkowitymi wielokrotnościami \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Możesz je sobie podzielić na wielokrotności
czterech rodzajów:
1. dla \(\displaystyle{ k=4k'}\); wtedy rozwiązania mają postać \(\displaystyle{ k'\pi}\)

2. dla \(\displaystyle{ k=4k'+1}\); wtedy rozwiązania mają postać \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+k'\pi}\)

3. dla \(\displaystyle{ k=4k'+2}\); wtedy rozwiązania mają postać \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+k'\pi}\)

4. dla \(\displaystyle{ k=4k'+3}\); wtedy rozwiązania mają postać \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}+k'\pi}\)

Teraz musisz uwzględnić założenia, które są dwa:
a. \(\displaystyle{ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi}\) - żeby istniał tangens;
b. \(\displaystyle{ x\neq-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) - żeby \(\displaystyle{ \tg x\neq -1}\). To założenie mozna równoważnie zapisać \(\displaystyle{ x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi}\)

Czyli odpadają rozwiązania 3. i 4. i ostatecznie zostają rozwiązania \(\displaystyle{ k\pi}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+k\pi}\).

JK

[Union]

Dzięki