Podaj ilustrację graficzną

[jbeb]

Podaj ilustrację graficzną \(\displaystyle{ 2+ \cos y>\left| x\right|}\).
Czyli co? Przenoszę \(\displaystyle{ 2}\) i to co po prawej ma być większe od \(\displaystyle{ -1}\) lub mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\)? Tak się to robi?

[chris_f]

Raczej nie:
\(\displaystyle{ 2+\cos y>|x|}\)
\(\displaystyle{ 2+\cos y>x>-2-\cos y}\)
Teraz wyobraź sobie, że zamieniasz ze sobą miejscami \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\) (odpowiada to obróceniu kartki z narysowanym układem współrzędnych o \(\displaystyle{ 90^\circ}\) w lewo, wtedy dostałbyś nierówności
\(\displaystyle{ -2-\cos x< y<2+\cos x}\)
Rysujesz zatem dwie cosinusoidy - jedną \(\displaystyle{ \cos x}\) przesuniętą o dwa do góry, drugą \(\displaystyle{ -\cos x}\) przesuniętą o dwa w dół, zaznaczasz obszar pomiędzy nimi, i z powrotem odwracasz zeszyt (kartkę) do normalnego położenia.
Dostaniesz coś takiego

AU

41ad9f1ac640d81am.jpg (3.49 KiB) Przejrzano 59 razy

[/url]

[jbeb]

A jak od razu obliczyć, że \(\displaystyle{ x \in (-3,3)}\)?

[chris_f]

Wyrażenie \(\displaystyle{ 2+\cos y}\) osiąga maksymalną wartość równą \(\displaystyle{ 3}\), a zatem \(\displaystyle{ |x|<3}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ -3< x< 3}\).

[jbeb]

Skąd wiesz, że przyjmuje maksymalną wartość 3? bez rysowania wykresu

[chris_f]

Bo \(\displaystyle{ \cos y}\) przyjmie co najwyżej wartość jeden, no a jak dodamy 2 to dostaniemy co najwyżej 3.