Dla jakich rzeczywistych wartości parametru

[jbeb]

Dla jakich rzeczywistych wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, \pi \right\rangle}\) równanie \(\displaystyle{ 4x^2{}+4 \left( \sin \alpha +\cos \alpha \right) x+3\sin \left( 2 \alpha \right) =0}\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste różnych znaków?
Wychodzi mi \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{ \pi }{2}, \frac{11}{12} \pi \right)}\)... ktoś mam podobnie? bo w książce jest inaczej...

[piasek101]

Pokaż z czego to dostałeś - obadamy.

[jbeb]

DostałAś...
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0\\ \Delta>0\\ x_{1} x_{2}<0 \end{cases}}\).
Z delty wychodzi mi, że \(\displaystyle{ - \frac{7}{12} \pi +k \pi < \alpha < \frac{ \pi }{12}+k \pi}\), biorąc pod uwagę przedział podany w zadaniu mam \(\displaystyle{ \frac{5}{12} \pi < \alpha < \frac{11}{12} \pi}\).
Z trzeciego warunku mam przedział \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}+k \pi < \alpha < \pi +k \pi}\).
Przedział wspólny to \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{ \pi }{2}, \frac{11}{12} \pi \right)}\).
I gdzie tu błąd??

[lukasz1804]

Sprawdź swoje obliczenia przy rozwiązywaniu nierówności \(\displaystyle{ \Delta>0}\).

A może warto zauważyć, że w tym zadaniu warunek \(\displaystyle{ x_1x_2<0}\) wymusza prawdziwość warunku \(\displaystyle{ \Delta>0}\). Przeanalizujmy współczynniki: \(\displaystyle{ a=4, b=4(\sin\alpha+\cos\alpha), c=3\sin(2\alpha)}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ x_1x_2<0\iff c<0}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ c<0}\), to przy warunku \(\displaystyle{ a>0}\) jest \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac>0}\). Zatem do rozwiązania problemu wystarczy nierówność \(\displaystyle{ c<0}\), tj. \(\displaystyle{ \sin(2\alpha)<0}\).

[jbeb]

\(\displaystyle{ \sin(2\alpha)<0}\) jaki z tego przedział wychodzi? Nie taki jak podałam? Nie wiem jaka inna może być ta delta... jaką ty masz?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin(2\alpha)<0}\) jaki z tego przedział wychodzi? Nie taki jak podałam?

Zupełnie inny.

JK

[jbeb]

Deltę poprawiłam, wyszedł mi przedział \(\displaystyle{ 0< \alpha < \frac{ \pi }{12} \vee \frac{5}{12}< \alpha < \pi}\).
Jaki powinien wyjść z \(\displaystyle{ \sin(2\alpha)<0}\)???? Znaczy jak rozpisać, bo jaki powinien wyjść, żeby się odpowiedź zgadzała to się domyślam... No mi wychodzi, że \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) zawiera się między \(\displaystyle{ \pi}\)a\(\displaystyle{ 2 \pi}\), no to na pół... i to samo mi wyjdzie przecież i odpowiedź się nie zgodzi...

[kropka+]

suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych równania (...) ma dwa rozwiązania rzeczywiste różnych znaków?

O co tu chodzi ?-- 9 mar 2012, o 17:15 --

Zatem do rozwiązania problemu wystarczy nierówność \(\displaystyle{ c<0}\), tj. \(\displaystyle{ \sin(2\alpha)<0}\).

\(\displaystyle{ \Rightarrow \alpha \in \left( \frac{ \pi }{2}, \pi \right)}\)

[jbeb]

Odpowiedź w książce to \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac{ \pi }{12} \right) \cup \left( \frac{5}{12} \pi , \frac{ \pi }{2} \right)}\)... To albo w książce jest błąd, albo... nie wiem...

[kropka+]

Sprawdź, czy dobrze przepisałeś równanie.

[jbeb]

Dobrze, jak by było "takich samych znaków" to by się odpowiedź zgadzała...

[kropka+]

Tak, czyli błąd w treści zadania.