Wyznacz zbiór wartości funkcji\(\displaystyle{ f \left( x \right) = 1 + 2\cos x - \sin ^{2}x}\). Znajdź argument, dla którego funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość najmniejszą
Według mnie zbiór wartości to \(\displaystyle{ Y=\left\langle -1;3 \right\rangle}\)
Wartość argumentu \(\displaystyle{ p=-1}\) Ale coś mi tu nie pasuje, bo miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej to \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ -2}\)
Prosze o pomoc
Pozdrawiam
Problem ze zbiorem wartości
-
pixpol
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 22 lut 2010, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 13 razy
Problem ze zbiorem wartości
Ostatnio zmieniony 9 mar 2012, o 10:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle. Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle. Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Problem ze zbiorem wartości
Masz prawie dobrze.
Zbiór wartości ok.
(p) też, ale masz wyznaczyć x-sa.
A miejsca zerowe kwadratowej takie są ale nie tej bo ona jest ograniczona dziedziną (po podstawieniu) \(\displaystyle{ <-1;1>}\).
Zbiór wartości ok.
(p) też, ale masz wyznaczyć x-sa.
A miejsca zerowe kwadratowej takie są ale nie tej bo ona jest ograniczona dziedziną (po podstawieniu) \(\displaystyle{ <-1;1>}\).
-
brzoskwinka1
Problem ze zbiorem wartości
\(\displaystyle{ f(x)=1-2\cos x -\sin^2 x =\cos^2 x +2\cos x}\)
Badasz więc funkcję \(\displaystyle{ \varphi (\xi ) =\xi^2 +2\xi}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1].}\)
Ponieważ, jest to funkcja kwadratowa oraz odcięta wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji wynosi \(\displaystyle{ \xi_w =-1}\) więc wystarczy porównać wartości \(\displaystyle{ \varphi (-1) =-1}\) i \(\displaystyle{ \varphi (1)=3}\)
Zatem \(\displaystyle{ \max_{x\in \mathbb{R}} f(x) =\max_{-1 \le \xi \le 1} \varphi (\xi ) =\varphi (1 ) =f(2 k \pi ) =3}\)
\(\displaystyle{ \min_{x\in \mathbb{R}} f(x) =\min_{-1 \le \xi \le 1} \varphi (\xi ) =\varphi (-1 ) =f(2 k \pi +\pi ) =-1}\)
Badasz więc funkcję \(\displaystyle{ \varphi (\xi ) =\xi^2 +2\xi}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1].}\)
Ponieważ, jest to funkcja kwadratowa oraz odcięta wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji wynosi \(\displaystyle{ \xi_w =-1}\) więc wystarczy porównać wartości \(\displaystyle{ \varphi (-1) =-1}\) i \(\displaystyle{ \varphi (1)=3}\)
Zatem \(\displaystyle{ \max_{x\in \mathbb{R}} f(x) =\max_{-1 \le \xi \le 1} \varphi (\xi ) =\varphi (1 ) =f(2 k \pi ) =3}\)
\(\displaystyle{ \min_{x\in \mathbb{R}} f(x) =\min_{-1 \le \xi \le 1} \varphi (\xi ) =\varphi (-1 ) =f(2 k \pi +\pi ) =-1}\)
-
pixpol
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 22 lut 2010, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 13 razy
Problem ze zbiorem wartości
Czyli rozwiązując tym sposobem przykład
\(\displaystyle{ f(x)=2\cos^{2}x + 5\sinx + 1}\)
\(\displaystyle{ f(x)= -2\sin^{2}x + 5\sinx + 3}\)
\(\displaystyle{ q= \frac{49}{8}}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=-4 \wedge f(1)=6}\)
i teraz co biorę pod uwagę przy wyznaczaniu \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ f(x)=2\cos^{2}x + 5\sinx + 1}\)
\(\displaystyle{ f(x)= -2\sin^{2}x + 5\sinx + 3}\)
\(\displaystyle{ q= \frac{49}{8}}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=-4 \wedge f(1)=6}\)
i teraz co biorę pod uwagę przy wyznaczaniu \(\displaystyle{ Y}\)