Dla jakich rzeczywistych wartości parametru

[jbeb]

Dla jakich rzeczywistych wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\) równanie \(\displaystyle{ x^{2}\sin \alpha +x+\cos \alpha =0}\) ma dwa różne rozwiązanie rzeczywiste?
Wychodzi mi przedział \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac{ \pi }{12} \right)}\), komuś może wychodzi jeszcze jakiś dodatkowy przedział?

[leapi]

\(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge a\ne 0}\)

[jbeb]

Założenia mam, ale nie o nie pytam... po prostu w książce oprócz tego jest podany jeszcze inny przedział i chce się upewnić czy ktoś ma tak jak czy mam błąd...

[leapi]

1.

\(\displaystyle{ \alpha =0}\) prowadzi do równania liniowego \(\displaystyle{ x+1=0}\), stad \(\displaystyle{ \alpha \ne 0}\)

2.

\(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{2}}\) prowadzi do równania \(\displaystyle{ x^2+x=0}\), stad \(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{2}}\) jest w zbiorze rozwiązań kątów, dla których wyjściowe równanie ma dwa rozwiązania

3.

\(\displaystyle{ \Delta = 1 - 4\sin \alpha \cos \alpha =1-2\cdot 2\sin \alpha \cos \alpha =}\)

\(\displaystyle{ 1-2\sin \left( 2 \alpha \right) > 0}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \left( 2 \alpha \right) < 1}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( 2 \alpha \right) < \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 0< 2 \alpha < \frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ 0< \alpha < \frac{\pi}{6}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}<\alpha <\frac{\pi}{2}}\)

odp:\(\displaystyle{ \alpha\in\left( 0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}
{3},\frac{\pi}{2}\right>}\)

[jbeb]

Twoja odpowiedź jest zła... chodziło mi tylko o to, czy komuś oprócz tego mojego przedziału (który jest dobry) wychodzi jeszcze \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{12} \pi , \frac{ \pi }{2}\right\rangle}\), bo jest też podany.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin \left( 2 \alpha \right) < \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 0< 2 \alpha < \frac{\pi}{3}}\)

Istotnie, pomyłka. Powinno być

\(\displaystyle{ 0\le 2\alpha<\frac{\pi}{6}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{6}<2\alpha\le \pi}\),

bo \(\displaystyle{ 2\alpha\in\left\langle 0, \pi\right\rangle}\).

JK

[jbeb]

A to, że masz \(\displaystyle{ 2\alpha\in\left\langle 0, \pi\right\rangle}\) to stąd, że skoro \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\) to trzeba razy 2?

[leapi]

Tak \(\displaystyle{ \sin \left( 2 \alpha \right)}\) powstaje z \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) po dwukrotnym "ściśnięciu"

Fakt: przepraszam zwykła pomysłka \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}}\) oczywiście.

[Jan Kraszewski]

A to, że masz \(\displaystyle{ 2\alpha\in\left\langle 0, \pi\right\rangle}\) to stąd, że skoro \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\) to trzeba razy 2?

Skoro \(\displaystyle{ 0\le\alpha\le\frac{\pi}{2}}\), to po wymnożeniu tych nierówności stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) dostaniesz \(\displaystyle{ 0\le 2\alpha\le\pi}\).

JK