Witam.
Mam takie zadanie:
Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek \(\displaystyle{ sin = 2cos \gamma sin \beta}\) to trójkąt ten jest równoramienny.
Próbuje juz od 40 minut rozwiązać to zadanie, ale bez efektu.
Bardzo proszę o podpowiedź jak je mam rozwiązać.
Pozdrawiam serdecznie,
alek
Podpowiedź jak przeprowadzić dowód.
- baksio
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość/Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 136 razy
Podpowiedź jak przeprowadzić dowód.
Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) będą kątami wewnętrznymi trójkąta
Wiemy że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma =180^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 180 - (\beta + \gamma)}\)
I podstawiasz do pierwszego i masz:
\(\displaystyle{ sin(180 - (\beta + \gamma)) = 2cos\gamma sin\beta}\)
\(\displaystyle{ sin(\beta + \gamma)=2cos\gamma sin\beta}\)
Wiemy że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma =180^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 180 - (\beta + \gamma)}\)
I podstawiasz do pierwszego i masz:
\(\displaystyle{ sin(180 - (\beta + \gamma)) = 2cos\gamma sin\beta}\)
\(\displaystyle{ sin(\beta + \gamma)=2cos\gamma sin\beta}\)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Podpowiedź jak przeprowadzić dowód.
i dalej np z wzoru na sinusa sumy, po uproszczeniu podzielić przez \(\displaystyle{ \sin\beta\cdot \sin \gamma}\) i zauważyć, że cotangens jest różnowartościowy w przedziale \(\displaystyle{ (0, \pi)}\)