Podpowiedź jak przeprowadzić dowód.

alekm · Post autor: **alekm** » 15 lut 2007, o 19:24

Witam.
Mam takie zadanie:
Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek \(\displaystyle{ sin = 2cos \gamma sin \beta}\) to trójkąt ten jest równoramienny.

Próbuje juz od 40 minut rozwiązać to zadanie, ale bez efektu.

Bardzo proszę o podpowiedź jak je mam rozwiązać.

Pozdrawiam serdecznie,
alek

baksio · Post autor: **baksio** » 15 lut 2007, o 19:48

Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) będą kątami wewnętrznymi trójkąta
Wiemy że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma =180^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 180 - (\beta + \gamma)}\)
I podstawiasz do pierwszego i masz:
\(\displaystyle{ sin(180 - (\beta + \gamma)) = 2cos\gamma sin\beta}\)
\(\displaystyle{ sin(\beta + \gamma)=2cos\gamma sin\beta}\)

max · Post autor: **max** » 15 lut 2007, o 19:57

i dalej np z wzoru na sinusa sumy, po uproszczeniu podzielić przez \(\displaystyle{ \sin\beta\cdot \sin \gamma}\) i zauważyć, że cotangens jest różnowartościowy w przedziale \(\displaystyle{ (0, \pi)}\)

alekm · Post autor: **alekm** » 15 lut 2007, o 20:30

Wyszło mi.
Wielkie dzięki za pomoc!

Pozdrawiam,
alek