1. dla jakiego m istnieje rozwiązanie równania \(\displaystyle{ m\cos x + \sin x =2m}\)
2. wyznacz najmniejszą i największą wartość \(\displaystyle{ f(x) = \sin^2x -\sin x \cdot \cos x}\)
ktoś ma jakiś pomysł jak zamienić w 1szym \(\displaystyle{ \cos x}\) albo \(\displaystyle{ \sin x}\) ? natomiast w 2gim zamieniłem \(\displaystyle{ \sin^2x}\) na \(\displaystyle{ 1-\cos^2 x}\), potem podstawienie \(\displaystyle{ t= \cos x}\) i delta tego wyszła mi równa \(\displaystyle{ \sin^2 x +4}\) i nie bardzo wiem co dalej ... Bardzo proszę o pomoc.
zastosowanie trygonometrii
-
leapi
- Użytkownik
- Posty: 622
- Rejestracja: 4 mar 2012, o 07:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 86 razy
zastosowanie trygonometrii
\(\displaystyle{ \sin x=t\\
\cos x=\sqrt{1-\sin ^2 x}=\sqrt{1-t^2}\mbox{ dla }t\in \left\langle -1,1 \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =t^2-t\sqrt{1-t^2}}\) dla \(\displaystyle{ t\in \left\langle -1,1 \right\rangle}\), może to w drugim przejdzie
\cos x=\sqrt{1-\sin ^2 x}=\sqrt{1-t^2}\mbox{ dla }t\in \left\langle -1,1 \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =t^2-t\sqrt{1-t^2}}\) dla \(\displaystyle{ t\in \left\langle -1,1 \right\rangle}\), może to w drugim przejdzie
Ostatnio zmieniony 6 mar 2012, o 23:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle. Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle. Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
zastosowanie trygonometrii
1. Ponieważ \(\displaystyle{ m=\frac{\sin x}{2-\cos x}}\), więc trzeba wyznaczyć zbiór wartości prawej strony.
Proponuję przejść na tangensy połówkowe, wówczas \(\displaystyle{ m=\frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+3\tg^2\frac{x}{2}}}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{3}\tg\frac{x}{2}=t}\), wtedy \(\displaystyle{ m=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{t}{1+t^2}}\)
Skoro \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{(t+1)^2}{t^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{t}{t^2+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{(t-1)^2}{t^2+1}\le\frac{1}{2}}\), to z ciągłości \(\displaystyle{ m\in\left\langle -\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right\rangle}\)
2. Mamy \(\displaystyle{ 2f(x)=2\sin^2x-2\sin x\cos x=1-(\sin 2x+\cos 2x)=1-\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}\), stąd \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{2}}{2}\le f(x)\le\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\)
Proponuję przejść na tangensy połówkowe, wówczas \(\displaystyle{ m=\frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+3\tg^2\frac{x}{2}}}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{3}\tg\frac{x}{2}=t}\), wtedy \(\displaystyle{ m=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{t}{1+t^2}}\)
Skoro \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{(t+1)^2}{t^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{t}{t^2+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{(t-1)^2}{t^2+1}\le\frac{1}{2}}\), to z ciągłości \(\displaystyle{ m\in\left\langle -\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right\rangle}\)
2. Mamy \(\displaystyle{ 2f(x)=2\sin^2x-2\sin x\cos x=1-(\sin 2x+\cos 2x)=1-\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}\), stąd \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{2}}{2}\le f(x)\le\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\)