udowodnij rownosc

[kriegor]

\(\displaystyle{ \arctan x + \arctan\frac{1-x}{1+x}=\frac{\pi}{4}}\) dla \(\displaystyle{ x>-1}\) czy podobny wynik jest dla \(\displaystyle{ x<-1}\)?

[Tmkk]

\(\displaystyle{ \tg(\arctan x + \arctan\frac{1-x}{1+x})=\tg\frac{\pi}{4}}\)

I teraz wzór na tangens sumy.

A jeżeli chodzi o założenie, to \(\displaystyle{ x > -1}\)

[kriegor]

ok robie tak i korzystam z tego ze \(\displaystyle{ \tan (\arctan x)=x}\) i mi wychodzi \(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\) ale jak to interpretowac ? tylko jeden taki iks jest ? chyba nie bo pytanie o to czy dla \(\displaystyle{ x<-1}\) tez by bylo bez sensu

[Qń]

Można zdefiniować sobie:
\(\displaystyle{ f(x)=\arctan x + \arctan\frac{1-x}{1+x}}\)
i wykazać, że dla \(\displaystyle{ x\neq -1}\) jest \(\displaystyle{ f'(x)=0}\).

Będzie to oznaczać, że w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (-1,+\infty)}\) i \(\displaystyle{ (-\infty ,-1)}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest stała. W pierwszym przedziale jest równa na przykład stale \(\displaystyle{ f(1)}\), a w drugim przedziale na przykład stale tyle samo ile wynosi \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} f(x)}\).

Q.

[Tmkk]

Mi wychodzi \(\displaystyle{ 1 = 1}\), więc może gdzieś się pomyliłeś?

[kriegor]

z tego \(\displaystyle{ \tg(\arctan x + \arctan\frac{1-x}{1+x})=\tg\frac{\pi}{4}}\)

wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{\tan(\arctan x) + \tan(\arctan(\frac{1-x}{1+x}))}{1-\tan(\arctan(\frac{1-x}{1+x}))}=1=\frac{x+\frac{1-x}{1+x}}{1-\frac{1-x}{1+x}}}\) no i chyba tutaj cos xlego zrobilem bo dalej to juz nawet wolfram twierdzi ze to nie jest 1=1

[Tmkk]

Bo wzór jest niepoprawny, w mianowniku:

\(\displaystyle{ \tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1-\tg x \tg y}}\)

Spróbuj teraz.

[kriegor]

dziala dzieki a czemu tylko dla \(\displaystyle{ x>-1}\) ?

[tatteredspire]

Bo dla dowolnego \(\displaystyle{ x<-1}\) funkcje \(\displaystyle{ \arctan x}\) oraz \(\displaystyle{ \arctan\frac{1-x}{1+x}}\) przyjmują wyłącznie wartości ujemne więc nie mogą się sumować do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\).

[Qń]

Pytanie chyba raczej brzmi: gdzie psuje się ten sposób z tangensami dla \(\displaystyle{ x<-1}\).

Sęk w tym, że w tym sposobie dość beztrosko skorzystano z faktu, że:
\(\displaystyle{ \tg a = \tg b \Rightarrow a=b}\)
podczas gdy prawdą jest tylko, że:
\(\displaystyle{ \tg a = \tg b \Rightarrow a=b+k\pi}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \arctan t \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)}\), to:
\(\displaystyle{ \arctan t + \arctan s \in [-\pi , \pi ]}\)
więc z równości:
\(\displaystyle{ \tg (\arctan t + \arctan s ) =\tg \frac{\pi}{4}}\)
wynika tylko, że:
\(\displaystyle{ \arctan t + \arctan s= \frac{\pi}{4}}\) lub \(\displaystyle{ \arctan t + \arctan s = \frac{\pi}{4}-{\pi}}\)

I zarówno dla \(\displaystyle{ x>-1}\) jak i dla \(\displaystyle{ x<-1}\) trzeba by jeszcze sprawdzić która z tych opcji zachodzi.

Q.