Zbiór wartości funcji tryg.

[muller]

Jak zabrać się do zadania?:
OKreśl zbiór wartośc funkcji f:
a)\(\displaystyle{ f(x)=sinx*cosx}\)
b)\(\displaystyle{ f(x)=(sinx+cosx)^{2}}\)
c)\(\displaystyle{ f(x)=(sinx-cosx)(sinx+cosx)}\)
d)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{4}{tgx+ctgx}}\)

[spajder]

może te przekształcenia Ci pomogą:

\(\displaystyle{ \sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}}\)

\(\displaystyle{ (\sin{x}+\cos{x})^2=\sin^2{x}+2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}=1+\sin{2x}}\)

\(\displaystyle{ (\sin{x}-\cos{x})(\sin{x}+\cos{x})=\sin^2{x}-\cos^2{x}=-\cos{2x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{\tan{x}+\cot{x}}=\frac{4}{\tan{x}+\frac{1}{\tan{x}}}=\frac{4}{\frac{\tan^2{x}+1}{\tan{x}}}=\frac{4\tan{x}}{1+\tan^2{x}}=\frac{\frac{4\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}}=\frac{\frac{4\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos^2{x}}}=\frac{4\sin{x}\cos^2{x}}{\cos{x}}=4\sin{x}\cos{x}=2\sin{2x}}\)

[ariadna]

a)
\(\displaystyle{ -1\leqslant {sin2x}\leqslant{1}}\)
\(\displaystyle{ -1\leqslant {2sinxcosx}\leqslant{1}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\leqslant {sinxcosx}\leqslant{\frac{1}{2}}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\leqslant {f(x)}\leqslant{\frac{1}{2}}}\)
b)
\(\displaystyle{ f(x)=sin^{2}x+2sinxcosx+cos^{2}x=1+2sinxcosx=1+sin2x}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ -1\leqslant {sin2x}\leqslant{1}}\)
\(\displaystyle{ 0\leqslant {sin2x+1}\leqslant{2}}\)
\(\displaystyle{ 0\leqslant {f(x)}\leqslant{2}}\)