Wykazać prawdziwość nierownosci, poziom podstawowy

[Starfish]

Wykaż, ze jesli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha < \frac{1}{2}}\) , to \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \cdot \tg ^{2} \alpha - \cos ^{2} \alpha < - \frac{1}{2}}\)

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha \cdot \tg^2 \alpha -\cos^2 \alpha =\sin^2 \alpha -\cos^2 \alpha=-(\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha )=-\cos 2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ -\cos 2 \alpha <-\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 \alpha >\frac{1}{2}}\), co jest prawdą bo \(\displaystyle{ \alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \wedge \sin \alpha <\frac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha \in \left(0,\frac{\pi}{6}\right)}\) na podstawie monotoniczności cosinusa w \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{6}\right)}\).

[piasek101]

Wczoraj na to patrzyłem - jakiś ,,skomplikowany" podstawowy.

Nie ma funkcji podwojonych kątów ani nierówności trygonometrycznych.

[tatteredspire]

W samym zadaniu pojawia się nierówność trygonometryczna \(\displaystyle{ \sin \alpha < \frac{1}{2}}\). A swoją drogą, to tablic nie dają na podstawowym z takimi wzorami?

[piasek101]

W zadaniu było dwie nierówności (szczegół), a w tablicach (są jedne dla obu poziomów) jest nadmiar wzorów nawet dla rozszerzonej.