Rozwiąż równanie

[jbeb]

Jeśli ma coś takiego \(\displaystyle{ \cos 2x+\sin x=0}\) to czy mogę podstawić za \(\displaystyle{ \cos 2x=1- 2\sin ^{2}x}\) i później to równanie przekształcić do postaci \(\displaystyle{ 2t^{2}-t-1=0}\) czy raczej zamienić \(\displaystyle{ \sin x=\cos \left( \frac{ \pi }{2} -x \right)}\) i wtedy korzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{ \alpha +\beta }{2}\cos \frac{ \alpha -\beta }{2}}\)? Wydaje mi się, że powinno wyjść w obu przypadkach to samo, a jednak nie wychodzi...

[Tmkk]

Można i wyniki są identyczne, tylko trochę inaczej zapisane.

[jbeb]

czyli \(\displaystyle{ -\frac{ \pi }{6}+2k \pi}\) powinno się równać \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}+ \frac{2}{3}k \pi}\)...?

[Tmkk]

A dokładniej:

\(\displaystyle{ -\frac{ \pi }{6}+2k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{7 \pi }{6}+2k \pi}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}+ \frac{2}{3}k \pi}\)

[jbeb]

Możesz napisać jak to zamieniałeś?

[Tmkk]

Nie zamieniłem. Po prostu rozwiązałem równanie pierwszym sposobem, potem drugim.

W pierwszym wychodzi:

\(\displaystyle{ x = -\frac{ \pi }{6}+2k \pi \vee x = \frac{7 \pi }{6}+2k \pi \vee x = \frac{\pi }{2}+2k \pi}\)

Natomiast w drugim:

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi }{2}+2k \pi \vee \frac{ \pi }{2}+ \frac{2}{3}k \pi}\)

I stwierdzam, że wyniki są identyczne. Jeżeli chcesz się upewnić, to podstaw sobie za k różne liczby całkowite i zobacz, że to będzie to samo.