Narysuj wykres funkcji i wyznacz zbiór wartości .

[Union]

1.Naszkicuj wykres funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\cos x^{ \sqrt{|\cos x| - 1} }}\).
Jakby ktoś mógł napisać jak to zrobić.

2.Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =4\ \sin x^2{x} - 4\ \sin x + 5}\)

Tutaj podstawiam za \(\displaystyle{ t = \sin x}\) korzystam z wykresu funckji \(\displaystyle{ 4t^2 - 4t + 5}\), tylko potem mam problem, w odpowiedzi do zadania ( rozwiązaniu ) napisane jest że wykres funkcji \(\displaystyle{ 4t^2 - 4t + 5}\) jest określony w zbiorze \(\displaystyle{ \left\langle -1,1 \right\rangle}\).

I tu moje pytanie dlaczego zbiór \(\displaystyle{ \left\langle -1,1 \right\rangle}\).?

[Glo]

1. Przeanalizuj sobie dziedzinę tej funkcji. Zastanów się, co może być pod pierwiastkiem.

2. Podstawiając \(\displaystyle{ t=\sin x}\) narzucasz ograniczenie na t - dokładnie takie samo, jakie było na sinusie. Gdyby nie to, miałbyś różne dziedziny i podstawienie byłoby nieprawdziwe, bo rysując np. wykres dla argumentu t=5 z podstawienie powrotnego musiałoby tez istnieć \(\displaystyle{ \sin x = 5}\), a wiadomo, że nie istnieje.

[Union]

co do 1. wiem już próbowałem \(\displaystyle{ |\cos x| -1 \ge 0 \Rightarrow |\ \cos x| = 1}\) i dalej co ?
\(\displaystyle{ \cos x = 1}\) dla \(\displaystyle{ \cos x \ge 0}\) i \(\displaystyle{ \ \cos x = -1}\) dla \(\displaystyle{ \cos < 0}\).
Tylko z tego wychodzą mi dziwne przedziały z których nic nie rozumiem :/

a do 2. ok rozumiem, czyli analogicznie dla \(\displaystyle{ f(x) = -\cos ^{2}x - \cos x + 5}\) przedział będzie ten sam \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\) ?

[Glo]

No po prostu rozwiąż równanie. Żadnych przedziałów, będą pojedyncze wyniki typu \(\displaystyle{ a \pi +bk \pi}\)
gdzie a, b to stałe a k jest całkowite.

[Union]

Dobra to jeszcze jedno otóż \(\displaystyle{ f(x)=\ \sin ^{2} x \cos ^{4}x + \sin ^{4} x \cos ^2 x}\) i mam wyznaczyć zbiór wartości, zrobiłem analogicznie do poprzednich, tylko teraz wychodzi mi że \(\displaystyle{ \left\langle 0; \frac{3}{16}\right\rangle}\) w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \left\langle 0;0,25\right\rangle}\)

[Tmkk]

Ciężko powiedzieć, co zrobiłeś źle, jeżeli nie pokazałeś, jak robiłeś.

[Union]

\(\displaystyle{ f(x)=\ \sin ^{2} x \cos ^{4}x + \sin ^{4} x \cos ^2 x \Rightarrow \ sin^2x - \ sin^4x}\) podstawiam \(\displaystyle{ t=\ sinx}\) dalej mam \(\displaystyle{ -t^4+t^2}\) ( wynik tego przekształcenia jest taki jak w ćwiczeniach ). domyślam się że największa wartość będzie w \(\displaystyle{ x= \frac{1}{4}}\) więc podkładam do wzoru i wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{3}{16}}\) tak ?

[Tmkk]

Nie wiem, jak ty to przekształciłeś, że wyszło ci \(\displaystyle{ \sin^2x - \ sin^4x}\)

Proponuje tak:

\(\displaystyle{ f(x)=\ \sin ^{2} x \cos ^{4}x + \sin ^{4} x \cos ^2 x = \sin ^{2} x \cos ^{2}x ( \cos ^{2}x + \sin ^{2}x) = \\ = \sin ^{2} x \cos ^{2}x = \frac{1}{4} \sin ^2 2x}\)

i od razu widać, że \(\displaystyle{ ZW = \left\langle 0; \frac{1}{4} \right\rangle}\)

[Union]

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x \cos ^{2}x = \frac{1}{4} \sin ^2 2x}\) skąd to ?

[lestkievich]

Z
\(\displaystyle{ \sin 2x = \2sin x \cos x}\)

[Union]

a ja myślałem że \(\displaystyle{ \ sin2x = 2\ sinx \ cosx}\)

[Tmkk]

Bo tak jest, po prostu lestkievich się pomylił

\(\displaystyle{ \sin 2x = 2\sin x \cos x\\
\frac{1}{2} \sin 2x = \sin x \cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x \cos ^{2}x = (\sin x \cos x)^2 = (\frac{1}{2} \sin 2x)^2 = \frac{1}{4} \sin ^2 2x}\)

[lestkievich]

literówka

[Union]

Dzięki