Oblicz wartość wyrażenia

[RandomGuy]

Oblicz wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ \ctg 10^\circ \cdot \ctg 50^\circ \cdot \ctg 70^\circ}\)
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego problemu.

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

Możesz zamienić ten iloczyn cotangensów na iloczyn tangensów, później rozbić to na iloraz iloczynów sinusów i cosinusów, zająć się tymi iloczynami osobno wykorzystując wzory na zamianę takich sum \(\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta , \cos \alpha +\cos \beta}\) na iloczyn.

[RandomGuy]

Nie do końca rozumiem twoją wypowiedz, może jakiś przykład?

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \ctg10^o \ctg 50^o \ctg 70^o=\tg 20^o \tg 40^o \tg 80^o=\frac{\sin 20^o \sin 40^o \sin 80^o}{\cos 20^o \cos 40^o \cos 80^o}}\)

\(\displaystyle{ \cos 80^o \cdot 40^o=\frac{\cos 120^o+\cos 40^o}{2}=\frac{-\frac{1}{2}+\cos 40^o}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{-\frac{1}{2}+\cos 40^o}{2} \cdot \cos 20^o=\frac{-\frac{1}{2}\cos 20^o +\cos 40^o \cdot \cos 20^o}{2}}\)

Podobnie rozpisz \(\displaystyle{ \cos 40^o \cdot \cos 20^o}\) i z sinusami pokombinuj podobnie.

[RandomGuy]

Móglbyś podać wzory wiążące iloczyny sinusów oraz cosinusów z ich sumami? Te, które ja znam wyglądają nieco inaczej -.-"
\sorry, źle popatrzyłem

[tatteredspire]

Te które (zapewne) znasz można przekształcić w ten sposób, że \(\displaystyle{ \cos( \alpha - \beta )+\cos( \alpha + \beta )=2\cos \alpha \cos \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \cos( \alpha - \beta )-\cos( \alpha + \beta )=2\sin \alpha \sin \beta}\) - ich dowód jest trywialny na podstawie tamtych.

Całe zadanie sprowadza się do przekształcania tych wzorów (może jest inny sposób, ale ten jest dość elementarny, w każdym razie do głowy inny elementarny mi nie przychodzi w tym momencie).