równanie trygonometryczne

[smieja]

\(\displaystyle{ \sin x \sin 3x = \frac{1}{2}}\)

zrobiłem to równanie tak:
\(\displaystyle{ \sin x \left( 3 \sin x - 4 \sin ^{3} x \right) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3 \sin ^{2} x - 4\sin ^{4} x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ -8 \sin ^{4} x + 6 \sin ^{2} x - 1 = 0}\)

no i po odpowiednim podstawieniu i rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymałem
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x = \frac{1}{4}}\)
i
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x = \frac{1}{2}}\)

wyniki tych równan są jednak trochę inne niż w książce i teraz nie wiem czy źle zrobiłem, czy po prostu moje wyniki są dobre tylko inaczej zapisane
wpadł mi do głowy również inny sposób rozwiązania mianowicie

\(\displaystyle{ 2 \sin x \sin 3x = 1}\)
\(\displaystyle{ \cos 2x - \cos 4x = 1}\)

lecz nie wiem zbytnio co zrobić z tym \(\displaystyle{ \cos 4x}\)

[math questions]

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x = \frac{1}{4}}\)
i
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x = \frac{1}{2}}\)

to nie jest jeszcze rozwiązanie

[smieja]

Nigdzie nie napisałem, że to jest już rozwiązanie. Napisałem, że WYNIKI tych równań są inne niż w książce

[lestkievich]

\(\displaystyle{ \sin x \sin 3x=\sin x \sin (x+2x)= \sin x \cdot 2 \sin x \cos 2x=
2\sin ^2 x\cos 2x =2\sin ^2(\cos ^2 x - \sin ^2 x)=
2\sin ^2(1-\sin ^2 x - \sin ^2 x)=2\sin ^2 x( 1-2\sin ^2 x)}\)

postawienie \(\displaystyle{ \sin ^2 x =t}\)

\(\displaystyle{ 2t(1-2t)=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ t(1-2t)=\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ t^2-2t-\frac{1}{4}=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4-1=3}\)

\(\displaystyle{ \t_1=\frac{2-\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \t_2=\frac{2+\sqrt{3}}{2}}\)

[smieja]

dlaczego
\(\displaystyle{ \sin (x+2x)= 2 \sin x \cos 2x}\) ?

[lestkievich]

pewnie ze zle, wzory mi sie pomieszały całkowiecie
\(\displaystyle{ \sin (x +y)=\sin x \cos y+ \sin y \cos x}\)

\(\displaystyle{ y=2x}\)

\(\displaystyle{ \sin (x +2x)=\sin x \cos (2x)+ \sin(2x) \cos x}\)


\(\displaystyle{ \sin (x +2x)=\sin x (\cos^2 x- \sin^2 x)+ 2\sin x \cos x \cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin (3x)=\sin x (1- 2 \sin^2 x)+ 2\sin x (1-\sin^2 x)}\)

\(\displaystyle{ \sin (3x)=\sin x(1-2\sin^2 x +2 -2 \sin^2 x)}\)

\(\displaystyle{ \sin (3x)=\sin x (3-4\sin^2 x)}\)


Rówananie
\(\displaystyle{ \sin \sin (3x)=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 x (3-4\sin^2 x)=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin ^2 x=t}\)

\(\displaystyle{ t(3-4t)=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 3t-4t^2)=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4t^2+3t-\frac{1}{2}=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=9+8=17}\)

\(\displaystyle{ t_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{8}<0}\)]nie spełnia warunków zadania
\(\displaystyle{ t_2=\frac{-3+\sqrt{17}}{8}}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 x=\frac{-3+\sqrt{17}}{8}}\)

uu.u.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin(x+y)=2\sin x \cos y}\)

To dość rewolucyjna teza, skąd ją wytrzasnąłeś?

JK

[smieja]

Już rozwiązałem

\(\displaystyle{ \cos 2x - \cos 4x = 1 \\
\cos 2x - 2 \cos ^{2} 2x = 1 \\
\cos 2x \left( 1- 2 \cos 2x \right)=0}\)

no i dalej wiadomo

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \cos 2x \left( 1- 2 \cos 2x \right)=0}\)

A to skąd?

JK

[smieja]

\(\displaystyle{ \cos 2x - \cos 4x = 1 \\
\cos 2x - \cos (2x+2x) \\
\cos 2x - \left( \cos 2x \cos 2x - \sin 2x \sin 2x \right) = 1 \\
\cos 2x - \left( \cos ^{2} 2x - \sin ^{2} 2x\right)=1 \\
\cos 2x - \left(\cos ^{2} 2x - 1 + \cos ^{2} 2x \right)\\
\cos 2x - \cos ^{2} 2x + 1 - \cos ^{2} 2x = 1 \\
\cos 2x - 2 \cos ^{2} 2x = 0}\)

[lestkievich]

to chyba drugie równanie??

[smieja]

to samo

[Jan Kraszewski]

smieja, jest dobrze. Powinienem zapytać się raczej, skąd

\(\displaystyle{ \cos 2x - 2 \cos ^{2} 2x = 1}\)

bo źle zapisałeś linijkę wyżej...

JK