Mam problem z nierównością: \(\displaystyle{ |cos\alpha + sin\alpha| < \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\)
Pomoże ktoś?
Nierówność
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Nierówność
\(\displaystyle{ |\cos + \sin | < \frac{1 + \sqrt{3}}{2}}\)
Po obu stronach mamy wyrażenia o wartościach nieujemnych, więc możemy je podnieść do kwadratu otrzymując nierówność równoważną:
\(\displaystyle{ (\cos + \sin )^{2} < \frac{(1 + \sqrt{3})^{2}}{4}\\
\sin^{2} + \cos^{2} + 2\sin \cos < \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4}\\
1 + \sin 2 < 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin 2\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
itd...
Po obu stronach mamy wyrażenia o wartościach nieujemnych, więc możemy je podnieść do kwadratu otrzymując nierówność równoważną:
\(\displaystyle{ (\cos + \sin )^{2} < \frac{(1 + \sqrt{3})^{2}}{4}\\
\sin^{2} + \cos^{2} + 2\sin \cos < \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4}\\
1 + \sin 2 < 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin 2\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
itd...
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Nierówność
\(\displaystyle{ \sin 2\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Teraz choćby z wykresu funkcji sinus, który sobie wyobrażamy/rysujemy/mamy_w_tablicach:
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3}\pi + 2k\pi < 2\alpha < \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ k \mathbb{Z}\\
-\frac{2}{3}\pi + k\pi < < \frac{\pi}{6} + k\pi, \ k \mathbb{Z}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to zbiór liczb całkowitych
Teraz choćby z wykresu funkcji sinus, który sobie wyobrażamy/rysujemy/mamy_w_tablicach:
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3}\pi + 2k\pi < 2\alpha < \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ k \mathbb{Z}\\
-\frac{2}{3}\pi + k\pi < < \frac{\pi}{6} + k\pi, \ k \mathbb{Z}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to zbiór liczb całkowitych