udowodnij, że zachodzi nierówność
udowodnij, że zachodzi nierówność
Udowodnij, że dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha -\cos 2 \alpha < \frac{(\tg \alpha +1) ^{2} }{\tg ^{2} \alpha +1 }}\)
Ostatnio zmieniony 25 lut 2012, o 15:32 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
-
- Użytkownik
- Posty: 684
- Rejestracja: 6 lis 2009, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 101 razy
udowodnij, że zachodzi nierówność
Na przykład tak:
\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x +\sin ^2 x - \cos ^2x=\cos ^2 x(2\tg x +\tg ^2x +1)-2\cos ^2 x =}\)
\(\displaystyle{ =\cos ^2 x(\tg x + 1)^2 -2\cos ^2x<\frac{(\tg x + 1)^2}{\tg ^2x+1}}\)
Wszystko na lewo i:
\(\displaystyle{ (\tg x+1)^2\left ( \frac{\cos ^2x(\tg ^2x+1)-1}{\tg ^2x +1}\right ) -2\cos ^2x <0}\)
Zauważ, że licznik ułamka jest równy zero więc zostaje nam tylko człon:
\(\displaystyle{ -2\cos ^2x}\)
Który jest zawsze mniejszy od zera, CKD.
\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x +\sin ^2 x - \cos ^2x=\cos ^2 x(2\tg x +\tg ^2x +1)-2\cos ^2 x =}\)
\(\displaystyle{ =\cos ^2 x(\tg x + 1)^2 -2\cos ^2x<\frac{(\tg x + 1)^2}{\tg ^2x+1}}\)
Wszystko na lewo i:
\(\displaystyle{ (\tg x+1)^2\left ( \frac{\cos ^2x(\tg ^2x+1)-1}{\tg ^2x +1}\right ) -2\cos ^2x <0}\)
Zauważ, że licznik ułamka jest równy zero więc zostaje nam tylko człon:
\(\displaystyle{ -2\cos ^2x}\)
Który jest zawsze mniejszy od zera, CKD.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
udowodnij, że zachodzi nierówność
Łatwo jest zacząć od prawej strony (trzeba zauważyć, że ze względu na warunek \(\displaystyle{ \cos\alpha\ne 0}\) nie może zachodzić równość \(\displaystyle{ \cos 2\alpha=-1}\)):
\(\displaystyle{ \frac{(\tg \alpha +1) ^{2} }{\tg ^{2} \alpha +1 }=\frac{\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1\right)^2}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1}=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin 2\alpha+1>\sin 2\alpha-\cos 2\alpha}\).
\(\displaystyle{ \frac{(\tg \alpha +1) ^{2} }{\tg ^{2} \alpha +1 }=\frac{\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1\right)^2}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1}=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin 2\alpha+1>\sin 2\alpha-\cos 2\alpha}\).