równania trygonometryczne

[major37]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ ( \cos x- \sin x) ^{2}+ \tg x= 2 \sin ^{2}x}\) Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia i zamianie tangensa otrzymuje\(\displaystyle{ =1-2 \sin x \cos x + \frac{ \sin x}{ \cos x}=2 \sin ^{2}x}\) Mnoże teraz obustronnie razy kosinus i otrzymuje \(\displaystyle{ \cos x-2 \sin x \cos ^{2}x+ \sin x-2 \sin ^{2}x \cos x=0}\) i dalsze przekształcenia \(\displaystyle{ \cos x(1-2 \sin x \cos x)+ \sin x(1-2 \sin x \cos x)=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \sin x =- \cos x \wedge \sin x \cos x= \frac{1}{2}}\) z pierwszego to łatwo bo \(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi}{4}+k \pi}\). A mam problem z tym drugim jak tam wyznaczyć iks ? I czy w ogóle dobrze to rozwiązałem ?

[lukasz1804]

Wszystko jest ok, zauważ, że \(\displaystyle{ \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x}\)...

[major37]

Czyli \(\displaystyle{ \frac{ \sin 2x}{2}= \frac{1}{2}}\) A wiec \(\displaystyle{ \sin 2x=1}\) To \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi}{4}+k \pi}\). Tak ?

[lukasz1804]

Tak jest.

[major37]

Trochę mi się nie podoba bo w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi}{4} + \frac{k \pi}{2}}\). Błąd w odpowiedzi ?

[lukasz1804]

Autorzy zebrali dwie rodziny rozwiązań w jedną. Mamy \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}+k\pi=\frac{\pi}{4}+\frac{(2k-1)\pi}{2}, \frac{\pi}{4}+k\pi=\frac{\pi}{4}+\frac{(2k)\pi}{2}}\). Zatem do pierwszej rodziny rozwiązań należą te, które zawierają nieparzyste wielokrotności \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), a do drugiej te zawierające parzyste wielokrotności. To pozwala uczynić jeden zapis \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\) (może przydałoby się tu tylko zmienić literę \(\displaystyle{ k}\) na inną, by zapis nie prowadził do nieporozumień).

[major37]

Ale na maturze chyba nie obcinają punktów jak się poda dwie odpowiedzi. A z tego co zauważyłem na maturach jest przeważnie równanie w przedziałach albo tak że nie da rady zwinąć Dzięki za objaśnienie i pomoc