zad. z trygonometrii

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Przemkooo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 24 sty 2007, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 56 razy

zad. z trygonometrii

Post autor: Przemkooo »

Mam już ostatnie trzy zadanka z funkcji trygonometrycznych:

1.Rozwiąż rownanie \(\displaystyle{ tg^2(x+y) + ctg^2(x+y) = 1-2x-x^2}\)

2.Wyznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzedne spełniają równanie \(\displaystyle{ sinx + siny = sin(x+y)}\)

3.Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = cosx}\)
a) Wyznacz zbiór watrości funkcji \(\displaystyle{ g(x) = sinx - f(x) + 2}\)

b)Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ t }\), dla których równanie \(\displaystyle{ log_{\frac{1}{3}}\)\(\displaystyle{ (x+1)}\) \(\displaystyle{ - log_{\frac{1}{3}}\) \(\displaystyle{ x - f(2t) = 0}\) ma rozwiązanie.
Awatar użytkownika
baksio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość/Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 136 razy

zad. z trygonometrii

Post autor: baksio »

3.
a)\(\displaystyle{ g(x)= sinx - cosx + 2}\)
\(\displaystyle{ g(x)=sinx - sin(\frac{\pi}{2}-x) +2}\)
\(\displaystyle{ g(x) = \sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4}) + 2}\)
\(\displaystyle{ -1\leq sin(x-\frac{\pi}{4})\leq 1}\) ponieważ przesunięcie o wektor nie zmienia zbioru wartości
\(\displaystyle{ -\sqrt{2} q \sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4}) q \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ -\sqrt{2}+2 q \sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4}) +2 q \sqrt{2} + 2}\)
Czyli \(\displaystyle{ ZW= }\)
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

zad. z trygonometrii

Post autor: Tristan »

1. Zauważmy, że\(\displaystyle{ L= tg^2(x+y)+ ctg^2(x+y)=tg^2 (x+y) - 2+ ctg^2 ( x+y)+2= [ tg(x+y)- ctg(x+y)]^2 +2 q 2}\), ponieważ \(\displaystyle{ [ tg (x+y) - ctg ( x+y) ]^2 q 0}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ P=1-2x-x^2=2 -1-2x-x^2=2-(x^2+2x+1)=-(x+1)^2+ 2 q 2}\), ponieważ \(\displaystyle{ (x+1)^2 q 0}\). Aby więc zachodziło \(\displaystyle{ L=P}\) musi zachodzić koniunkcja:
\(\displaystyle{ L=2 P=2 \\ tg^2 (x+y) + ctg^2 (x+y) = 2 1 - 2x-x^2=2 \\ [ tg (x+y)- ctg (x+y)]^2=0 -(x+1)^2=0 \\ tg (x+y) - ctg(x+y)=0 x+1=0 \\ tg (x+y) - ctg [ \frac{ \pi}{2} - (x+y) ] =0 x=-1}\)
W tym momencie wystarczy, że skorzystasz z wzoru na różnicę tangensów i dalej już z górki.
2. Skorzystamy tutaj z wzoru na różnicę sinusów:
\(\displaystyle{ \sin x+ \sin y= \sin(x+y) \\ \sin (x+y) - \sin y= \sin x \\ 2 \cos( \frac{x}{2}+y) \sin \frac{x}{2}= \sin x \\ 2 \cos( \frac{x}{2}+y) \sin \frac{x}{2}= 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ \sin \frac{x}{2}=0 \cos( \frac{x}{2} +y)= \cos \frac{x}{2}}\)
I w tym przypadku myślę, że dalej już dasz sobie radę.
Przemkooo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 24 sty 2007, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 56 razy

zad. z trygonometrii

Post autor: Przemkooo »

Wielkie dzięki wszystkim, którzy mi pomogli.
LySy007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 386
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z fotela
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 3 razy

zad. z trygonometrii

Post autor: LySy007 »

Mam pytanie odnośnie tego zadania, które Przemkooo oznaczył numerem 2.

Czy byłaby możliwość zaznaczenia tego w jakiś sposób na wykresie?

Wychodzi w nim coś takiego \(\displaystyle{ {(x;y): x=2k \pi y=2k \pi y=-x+2k \pi, k C}}\).
ODPOWIEDZ