dziedzina i zbiór wartości tryonometrycznej

[major37]

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1- \sin ^{4}x- \cos ^{4}x }{1- \cos ^{2}x- \sin ^{6}x }}\). Mianownik jest łatwo bo tam jest \(\displaystyle{ \sin ^{2}x- \sin ^{6}x= \sin ^{2}x(1- \sin ^{4}x)}\) Natomiast mam problem z licznikiem. Chcę tam zastosować wzór na różnice kwadratów ale jakoś mi się nie udało więc zastosowałem \(\displaystyle{ ( \sin ^{2}x+ \cos ^{2}x) ^{2} =1= \sin ^{4}x+ 2 \sin ^{2}x \cos ^{2}x+ \cos ^{4}x}\) a więc \(\displaystyle{ \cos ^{4}x=1-sin ^{4}x-2 \sin ^{2}x \cos ^{2}x}\) wstawiam teraz do licznika i otrzymuję \(\displaystyle{ 2 \sin ^{2}x \cos ^{2}x=2 \sin ^{2}x-2 \sin ^{4}x= \sin ^{2}x(2-2 \sin ^{2} x)}\) po skróceniu w liczniku i mianowniku \(\displaystyle{ \sin ^{2}x}\)otrzymuje \(\displaystyle{ f(x) \frac{2-2 \sin ^{2}x }{1- \sin ^{4}x }}\). A w odpowiedziach podają inną funkcję więc mam gdzieś błąd ?

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ 1-\sin^4 x - \cos^4 x = 1- (\sin^4 x + \cos^4 x)=1-((\sin^2 x+ \cos^2 x)^2-2\sin^2 x \cos^2 x)=1-(1-2\sin^2 x\cos^2 x)=2\sin^2 x \cos^2 x}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1- \sin ^{4}x- \cos ^{4}x }{1- \cos ^{2}x- \sin ^{6}x }=\frac{2\sin^2 x\cos^2 x}{\sin^2 x(1-\sin^4 x)}=\frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x \cdot (1+\sin^2 x)}=\frac{2}{1+\sin^2 x}}\)

Masz tak samo jak ja, a co masz w odpowiedziach podane?

[major37]

Jak wynik w książce jest jeszcze inny bo \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{1+ \sin ^{2}x }}\).

[tatteredspire]

Wyciąg \(\displaystyle{ 2}\) przed nawias u siebie, rozłóż na czynniki mianownik, skróć co się da i otrzymasz to samo.

[major37]

No otrzymałem to samo Ale co teraz z dziedziną ? \(\displaystyle{ \sin ^{2} \neq -1}\) Dziedzina to rzeczywiste ?-- 15 lut 2012, o 13:01 --Jak by było \(\displaystyle{ \sin x \neq -1}\) To łatwo ale mam problem jak jest sinus do kwadratu.

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ 1-\cos^2 x-\sin^6 x=\sin^2 x \cos^2 x (1+\sin^2x)}\) - musisz wyznaczyć wszystkie iksy dla których to wyrażenie się zeruje i wyrzucić je z dziedziny.

EDIT: Masz wyznaczyć dziedzinę funkcji "wyjściowej" a nie tej "uproszczonej".

\(\displaystyle{ \sin^2 x \cos^2 x (1+\sin^2x)=0}\) - kiedy iloczyn czynników jest równy zero?

[major37]

No to się zeruję dla \(\displaystyle{ \sin ^{2}x= \vee \cos ^{2}x=0 \vee \sin ^{2}x=-1}\) Czyli dla \(\displaystyle{ x=k \pi \vee x= \frac{ \pi}{2}+k \pi}\) tak ?

[tatteredspire]

Tak i wyrzucasz iksy tej postaci z dziedziny funkcji uproszczonej.

[major37]

A dziedziną funkcji uproszczonej są rzeczywiste ?

[tatteredspire]

Tak, dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{1+ \sin ^{2}x }}\) jest zbiór liczb rzeczywistych, bo jej mianownik się nie zeruje, ale ponieważ ta funkcja powstała w wyniku przekształceń innej funkcji więc aby dojść do tej postaci trzeba było to i owo założyć.

[major37]

No to dziedzinę już mam A teraz co z zbiorem wartości ?

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ 1+\sin^2 x>1 \wedge 1+\sin^2 x<2}\) (biorąc pod uwagę dziedzinę) więc funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ (1,2)}\) (nie jest to zbyt formalne uzasadnienie, ale domyślam się, że nikt nie każe Ci formalnie to pokazywać).

[major37]

To ostatnie pytanie mam nadzieję Dlaczego akurat \(\displaystyle{ 1+\sin^2 x>1 \wedge 1+\sin^2 x<2}\) chodzi mi dlaczego większe od 1 i mniejsze od 2 ?

[tatteredspire]

Zawsze \(\displaystyle{ 0 \le \sin^2 x \le 1}\), ale ponieważ dziedzina jest taka a nie inna - sinus się nie zeruje ani nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 1}\) czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ 0<\sin^2 x<1}\) czyli \(\displaystyle{ 1<\sin^2 x +1<2}\)

[major37]

Ciężkie zadanie ale już je czaje dzięki Tobie Dzięki