zbiór wartości tryg. pod pierwiastkiem + log

[major37]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{ \log \cos 2 \pi x}}\). Proszę o jakąś wskazówkę.

[pyzol]

Wyznacz dziedzinę.

[major37]

\(\displaystyle{ \log \cos 2 \pi x \ge 0 \wedge \cos 2 \pi x >0}\)

[Afish]

Okej. Teraz zastanów się, jakie wartości może przyjąć cosinus. Potem zawęź te wartości do dziedziny logarytmu i zastanów się, jakie wartości przyjmie logarytm. Potem zawęź te wartości do dziedziny pierwiastka i ustal ostateczne rozwiązanie.
Podpowiedź: jak wyliczysz dziedzinę, to rozwiązanie będzie widać od razu.

[major37]

Czy cosinus przyjmuje takie wartości \(\displaystyle{ x \in (-2 \pi+2k \pi; 2\pi+2k \pi)}\) ?

[pyzol]

Nie, to by była dziedzina, z tym że raczej powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \pi+2k\pi;2k\pi}\)
Jeśli chodzi o opisywanie zbiorów, to rozwiązania typu:
\(\displaystyle{ 2k\pi, -2\pi+2k\pi,p\pi+2k\pi, k\in Z}\), określają ten sam zbiór.
Natomiast ważnym faktem jest, że cosinus musi przyjmować 1 wartość 1, a co za tym idzie nasza funkcja przyjmuje wartość...

[major37]

\(\displaystyle{ \pi+2k\pi;2k\pi}\)

To jest dziedziną naszej funkcji ? A jak do tego doszłeś ? Możesz mi pokazać ?

[pyzol]

Nie doszedłem i tylko bezmyślnie wpisałem. jedynie \(\displaystyle{ 2k\pi}\) jest rozwiązaniem.

[major37]

\(\displaystyle{ x=2k \pi}\) jest rozwiązaniem tego \(\displaystyle{ \cos 2 \pi x>0}\). Ale jak to zrobiłeś ?

[pyzol]

Nie.
Masz rozwiązać, taką nierówność (teraz będzie chociaż wszystko jak ma być ):
\(\displaystyle{ \log \cos 2\pi x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2\pi x \ge 1}\)
Lecz wiemy, że \(\displaystyle{ \cos t \le 1}\)
Więc zostaje nam właściwie równanie:
\(\displaystyle{ \cos 2\pi x=1 \Leftrightarrow 2\pi x=2k\pi,k\in Z}\)
Dzieląc przez \(\displaystyle{ \pi}\) otrzymamy dziedzinę:
\(\displaystyle{ x=k,k\in Z}\)
Zauważ, że jedyną wartość jaką może przyjmować cosinus, to jest 1. Więc funkcja \(\displaystyle{ f(x)=0}\).

[major37]

Trudne to Dzięki wielkie za pomoc