tożsamość trygonometryczna

major37 · Post autor: **major37** » 14 lut 2012, o 09:50

Sprawdź czy równość \(\displaystyle{ \frac{1+2 \sin 2x \cos 2x}{ \cos2x \cos 2x- \sin 2x \sin 2x}= \frac{1+ \tg 2x}{1- \tg 2x}}\) jest tożsamością trygonometryczną. Lewa strona jest już po moich przekształceniach ale teraz nie wiem co dalej. Czy mianownik można zapisać tak \(\displaystyle{ \cos ^{2}2x- \sin ^{2}2x}\) ?

Lider Artur · Post autor: **Lider Artur** » 14 lut 2012, o 09:57

tak, można

major37 · Post autor: **major37** » 14 lut 2012, o 10:13

więc w mianowniku \(\displaystyle{ \cos ^{2}2x- \sin ^{2}2x=1-2 \sin ^{2}2x}\) A co zrobić z licznikiem ?

diana1104 · Post autor: **diana1104** » 14 lut 2012, o 10:54

lepiej zacznij od prawej strony, wiedząc że

\(\displaystyle{ \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha }{1 - \tg^{2} \alpha }}\)

major37 · Post autor: **major37** » 14 lut 2012, o 19:40

Nie doszedłem do niczego konkretnego po prawej.

florek177 · Post autor: **florek177** » 14 lut 2012, o 19:51

lewa: \(\displaystyle{ \,\, \frac{1 + sin(4x)}{cos(4x) } \,\,\,}\) zamień na \(\displaystyle{ \,\, tg(2x)}\)

major37 · Post autor: **major37** » 14 lut 2012, o 19:56

zrobiłeś jak było na początku w wyjściowym. To może jakaś wskazówka co do zamiany ?

florek177 · Post autor: **florek177** » 14 lut 2012, o 20:05

to samo co u diany, tylko dla sinusa i cosinusa

0307 · Post autor: **0307** » 14 lut 2012, o 20:06

\(\displaystyle{ \frac{1 + \sin(4x)}{\cos(4x) }= \frac{1+2\sin2x \cos 2x}{\cos^2 2x-\sin^2 2x}= \frac{\sin^2 2x +2\sin2x \cos 2x+ \cos^2 2x}{(\cos 2x+\sin 2x)(\cos 2x -\sin 2x)}=\\ \frac{(\sin 2x+\cos 2x )^2}{(\cos 2x+\sin 2x)(\cos 2x -\sin 2x)}= \frac{\sin 2x+\cos 2x }{\cos 2x -\sin 2x}}\)

podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos 2x}\)

florek177 · Post autor: **florek177** » 14 lut 2012, o 20:39

\(\displaystyle{ \,\, \frac{1 + sin(4x)}{cos(4x) } \,\,\, = ...... = \frac{(1 + tg(2x))^{2}}{(1-tg(2x)) \, (1 + tg(2x))}}\)