Proszę o pomoc w udowodnieniu nierówności:
\(\displaystyle{ \log _{\sin \alpha } \left( \frac{\sin 2 \alpha }{\cos \alpha +\sin \alpha } \right) + \log _{\cos \alpha } \left( \frac{\sin 2 \alpha }{\cos \alpha +\sin \alpha } \right) \ge 2}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)}\)
Udowodnij nierówność
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij nierówność
Dla wygody oznaczmy \(\displaystyle{ a=\sin \alpha , b= \cos \alpha}\). Wykaż najpierw nierówność (zachodzącą dla liczb dodatnich):
\(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab}}\)
Korzystając z niej, z uwagi na \(\displaystyle{ a,b<1}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \log_a \frac{2ab}{a+b}\ge \log_a\sqrt{ab}=\ldots \\
\log_b \frac{2ab}{a+b}\ge \log_b\sqrt{ab}=\ldots}\)
Dodaj dwie powyższe nierówności stronami, uporządkuj prawą stronę i na koniec zastosuj jeszcze nierówność \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}}\).
Q.
\(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab}}\)
Korzystając z niej, z uwagi na \(\displaystyle{ a,b<1}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \log_a \frac{2ab}{a+b}\ge \log_a\sqrt{ab}=\ldots \\
\log_b \frac{2ab}{a+b}\ge \log_b\sqrt{ab}=\ldots}\)
Dodaj dwie powyższe nierówności stronami, uporządkuj prawą stronę i na koniec zastosuj jeszcze nierówność \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}}\).
Q.